Fractions rationnelles/Exercices/Décomposition en éléments simples dans C

Exercice 2-1

1. Diviser $2-X+3X^4-X^5$ par $1-X+X^3$ suivant les puissances croissantes à l'ordre 7.
2. De même, si $a\in ℝ$ est fixé, diviser $1-X\cos a$ par $1-2X\cos a+X^2$ à tout ordre. On pourra considérer la fraction rationnelle $\frac{1-X{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a}}{(1-X{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a})(1-X{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}a})}$.
3. Effectuer à tout ordre la division de $1-ab{X}^2$ par $(1-aX)(1-bX)$ suivant les puissances croissantes.

Exercice 2-2

1. Décomposer en éléments simples dans $ℂ(X)$ la fraction rationnelle $\frac{1}{(X^2+1)(X^3-X)}$.
2. En déduire la décomposition dans $ℝ(X)$.

Exercice 2-3

Décomposer en éléments simples sur $ℝ$ puis $ℂ$ :

$\frac{X^4+2}{X(X^2-1{)}^2(X^2+1)}$.