Matrice/Exercices/Matrice d'une application linéaire

Exercice 3-1

Soit $E$ un $ℝ$-espace vectoriel de dimension $4$. Soit $ℬ=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ une base de $E$. On définit, pour $\alpha \in ℝ$, l'application linéaire $f_{\alpha }:E\to E$ par :

$f_{\alpha }(e_1)=(1+4\alpha )e_1+(1-\alpha )e_2+e_3+3e_4$, $f_{\alpha }(e_2)=(1+2\alpha )e_1+{\alpha }^2{e}_2-e_3+3e_4$, $f_{\alpha }(e_3)=\alpha e_1+e_3$, $f_{\alpha }(e_4)=e_2-e_3+e_4$.

1. Donner la matrice $M_{\alpha }$ de $f_{\alpha }$ dans la base $ℬ$.
2. Calculer le déterminant de $M_{\alpha }$.
3. Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $f_{\alpha }$ est inversible (c'est-à-dire bijective).

Modèle:Solution Mêmes questions pour

$g_{\alpha }(e_1)=(2+4\alpha )e_1+(1-\alpha )e_2+e_3+3e_4$, $g_{\alpha }(e_2)=2\alpha e_1+{\alpha }^2{e}_2-e_3+3e_4$, $g_{\alpha }(e_3)=(1+\alpha )e_1+e_3$, $g_{\alpha }(e_4)=-e_1+e_2-e_3+e_4$.

Exercice 3-2

Soit $(e_1,e_2,e_3)$ une base de ${ℝ}^3$ et $e{\text{'}}_1=e_1+e_2-e_3$, $e{\text{'}}_2=e_1-e_2+e_3$, $e{\text{'}}_3=-e_1+e_2+e_3$.

1. Montrer que $(e{\text{'}}_1,e{\text{'}}_2,e{\text{'}}_3)$ est une base de ${ℝ}^3$.
2. Soit $f$ l'endomorphisme de ${ℝ}^3$ qui, dans la base $(e_1,e_2,e_3)$, est représenté par la matrice $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}a-b& a+c& c-b\\ b-a& c-a& b+c\\ a+b& a-c& b-c\end{array}\right)$. Calculer la matrice de $f$ dans la base $(e{\text{'}}_1,e{\text{'}}_2,e{\text{'}}_3)$.

Exercice 3-3

1. Soit $M\in {\mathrm{M}}_2(K)$. Montrer qu'il existe $\alpha ,\beta \in K$ — qu'on calculera en fonction des coefficients de $M$ — tels que

   $M^2=\alpha M+\beta {\mathrm{I}}_2$.

2. En déduire que si $f:K^2\to K^2$ est une application linéaire, alors la famille $(f^2,f,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{K^2})$ est liée.

Exercice 3-4

Donner la matrice dans les bases $B,C$ de $E,F$, et aussi dans les bases $B^{\prime },C^{\prime }$ le cas échéant, de l'application linéaire $f:E\to F$.

1. $E=F=K^3$, $f(x,y,z)=(y+z,x+z,x+y)$.
2. $E=F=K^2$, $B=C$ est la base canonique de $K^2$,
   $B^{\prime }=C^{\prime }=(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)),f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}y\\ x\end{array}\right)$.
3. $E=F=K^2$, $B=C$ est la base canonique de $K^2$,
   $B^{\prime }=C^{\prime }=(\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)),f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2x+4y\\ -x+2y\end{array}\right)$.
4. $E=K^3$, $F=K^2$, $B,C$ sont les bases canoniques et
   $f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}y+z\\ x+z\end{array}\right)$.
   Donner aussi des bases $B^{\prime },C^{\prime }$ dans lesquelles la matrice de $f$ soit $J=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$
   et en déduire des matrices inversibles $P\in {\mathrm{M}}_2(K)$, $Q\in {\mathrm{M}}_3(K)$ telles que $PMQ=J$, $M={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{B,C}(f)$.

Exercice 3-5

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3 et $ℰ=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.

On considère l'application linéaire $f:E\to E$ dont la matrice dans la base $ℰ$ est $[f{]}_{ℰ}^{ℰ}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 2& 1\\ 2& -1& 2\end{array}\right)$.

1. Déterminer l'image par $f$ d'un vecteur $v$ de coordonnées $(x,y,z)$ dans la base $ℰ$.
2. Écrire la matrice $[f{]}_{{ℰ}^{\prime }}^{{ℰ}^{\prime }}$ de $f$ dans la base ${ℰ}^{\prime }=(e_3,e_2,e_1)$.
3. Écrire la matrice $[f{]}_{ℱ}^{ℱ}$ de $f$ dans la base $ℱ=(e_2-e_3,e_1,e_1+e_3)$.