Thermodynamique appliquée/Énergétique thermodynamique

En thermodynamique appliquée, on s'intéresse au bilan énergétique des systèmes.

Exergie

Cette notion a été introduite par G. Gouy à la fin du XIXModèle:E siècle. À l'époque, on parlait d' énergie utilisable qui est à présent souvent rebaptisée exergie.

Ici on considère donc que le système thermodynamique est en relation avec son environnement qui est un réservoir infini à température et pression constantes et de composition fixée.

Puissance-travail effective d'un système

Si la pression extérieure est la pression atmosphérique $P_{atm}$, une augmentation de volume dV correspond à un travail $-P_{atm}.dV$ et à une puissance-travail : $-P_{atm}.\frac{dV}{dt}$

L'énergie effective $U_{eff}$ est définie par : $U_{eff}=U+P_{atm}.dV$

Pour un système où interviennent uniquement de l'énergie thermique, du travail et le mode d' énergie chimique, on a :

$dU=\delta Q+\delta W+\sum _i{\mu }_i.d{N}_i$

et pour k machines et j sources de chaleur à la température $T_j$ et en notant ${\dot{E}}_k$ la puissance-travail de la machine k (en Watt) , on écrit :

$\frac{dU}{dt}=\sum _j{\dot{Q}}_j+\sum _k{\dot{E}}_k+\sum _i{\mu }_i.\frac{d{N}_i}{dt}$

si on note $M_i$ le débit-masse de l'espèce $i$ (en kg/s) et $h_i$ l'enthalpie massique de $i$ (en kJ/kg) , alors

$\frac{dU}{dt}=\sum _j{\dot{Q}}_j+\sum _k{\dot{E}}_k+\sum _i{h}_i.{\dot{M}}_i$

$\frac{dU}{dt}=\sum _j{\dot{Q}}_j+\sum _k({\dot{E}}_k{)}_{eff}-P_{atm}.\frac{dV}{dt}+\sum _i{h}_i.{\dot{M}}_i$

$\frac{dU}{dt}+P_{atm}.\frac{dV}{dt}=\sum _j{\dot{Q}}_j+\sum _k({\dot{E}}_k{)}_{eff}+\sum _i{h}_i.{\dot{M}}_i$

$\frac{(dU+P_{atm}V)}{dt}=\frac{d{U}_{eff}}{dt}=\sum _j{\dot{Q}}_j+\sum _k({\dot{E}}_k{)}_{eff}+\sum _i{h}_i.{\dot{M}}_i$

Modèle:Encadre

Puissance-transformation $\dot{W}$

on définie la puissance-transformation par : $\dot{W}=\sum _i{h}_i.{\dot{M}}_i-\frac{dU}{dt}$

et la puissance-transformation effective par : ${\dot{W}}_{eff}=\sum _i{h}_i.{\dot{M}}_i-\frac{d{U}_{eff}}{dt}$

Efficacité

Si on note les puissances fournies par l'exposant - (i.e. $X^{-}$) et les puissances reçues par l'exposant + (i.e. $X^{+}$), on aura :

$\sum {\dot{E}}_{eff}^{-}+\sum {\dot{Q}}^{-}+\sum {\dot{W}}_{eff}^{-}+{\dot{Q}}_{atm}^{-}=\sum {\dot{E}}_{eff}^{+}+\sum {\dot{Q}}^{+}+\sum {\dot{W}}_{eff}^{+}$

L'efficacité est alors:

$ϵ=\frac{\sum {\dot{E}}_{eff}^{-}+\sum {\dot{Q}}^{-}+\sum {\dot{W}}_{eff}^{-}}{\sum {\dot{E}}_{eff}^{+}+\sum {\dot{Q}}^{+}+\sum {\dot{W}}_{eff}^{+}}$

• par exemple, pour un moteur

$ϵ=1-\frac{{\dot{Q}}_{atm}^{-}}{\sum {\dot{E}}_{eff}^{+}+\sum {\dot{Q}}^{+}+\sum {\dot{W}}_{eff}^{+}}<1$

Le travail moteur maximum que peut fournir un système ouvert est égal à la somme des exergies-chaleurs des sources avec lesquelles il échange de la chaleur, diminuée de la variation d’exergie du fluide qui le traverse et de l’exergie détruite du fait des irréversibilités.

Coenthalpie massique et copuissance-transformation

On définie la coenthalpie massique par : $k=h-T_{atm}.s$
où s est l'entropie massique, $T_{atm}$ la température extérieure.

La copuissance-transformation ${\dot{E}}_w^{+}$ est calculée ainsi : ${\dot{E}}_w^{+}=\sum _i{k}_i.{\dot{M}}_i^{+}-\frac{dJ}{dt}$ où J est la coénergie telle que:

$J=U_{eff}-T_{atm}.S$

Pour un système ouvert en régime permanent qui échange de la chaleur avec seulement l'atmosphère, on a :

${\dot{E}}_w^{+}=\sum _i{k}_i.{\dot{M}}_i^{+}$

Exemple d'application : Surchauffeur d'une centrale nucléaire

Dans les centrales nucléaires, l’énergie libérée sous forme de chaleur doit être récupérée pour produire de l’électricité. On utilise un caloporteur (un fluide pouvant être un gaz ou un liquide) pour cela. Le fluide thermodynamique peut être chauffé soit directement dans le réacteur (filière Boiling Water Reactor (BWR) non utilisée en France), soit par un fluide caloporteur intermédiaire qui amène la chaleur du cœur du réacteur et la transmet à un deuxième circuit qui va produire de l'électricité dans une turbine (filière Réacteur à Eau Pressurisée (REP) utilisée en France ou en anglais Pressurized Water Reactor (PWR) ). Dans le deuxième cas, le transfert de chaleur se fait dans un surchauffeur. Le séparateur-surchauffeur permet de recycler la vapeur sortant du circuit haute pression pour alimenter une turbine basse-pression et d'améliorer le rendement global.

Centrale nucléaire

Le fluide primaire est en général de l'eau qui est un bon caloporteur (capacité thermique massique élevée) stable et disponible. Il faut cependant que l'eau reste à l'état liquide dans la cuve du réacteur pour éviter des surchauffes locales. Dans l'exemple donné ici (d'après Thermodynamique et énergétique, Lucien Borel, Dinh Lan Nguyen et Magdi Batato, Presses polytechniques romandes, 1987. vol II, 2^ième tome, problèmes résolus et exercices, page 263), le fluide primaire est du dioxyde de carbone $\mathrm{C}\mathrm{O}{\phantom{A}}_2$. Le dioxyde de carbone a été utilisé dans les anciens réacteurs de conception française (filière uranium naturel graphite gaz dite « U.N.G.G. » , voir w:Uranium naturel graphite gaz et w:Réacteur à eau lourde refroidi au gaz sur wikipédia).

Diagramme de phase pression-température du dioxyde de carbone.

Le réacteur nucléaire chauffe du dioxyde de carbone sous environ 25 bars qui va servir à chauffer de l'eau dans un échangeur. Le CO₂ arrive avec un débit-masse ${\dot{M}}_{C{O}_2}$ de 8900 kg/s. La température à l'entrée est $T_1$ = 400 °C (enthalpie molaire $h_1$ = 578,9 kJ/kg) et le CO₂ ressort à 220 °C ($h_2$ = 384,3 kJ/kg).

L'eau arrive à 90 °C sous 35 bars ($h_3$ = 379,6 kJ/kg) et repart à $T_4$ = 390 °C sous 33 bars ($h_4$ = 3204,6 kJ/kg).

$T_{atm}$ = 27 °C

• calculer le débit-masse de l'eau :

L'échange de chaleur est tel que :

chaleur qui sort du dioxyde de carbone = chaleur qui passe dans l'eau

soit

$(h_1-h_2).{\dot{M}}_{C{O}_2}=(h_4-h_3).{\dot{M}}_{H_{2}O}$

${\dot{M}}_{H_{2}O}$ = 613,1 kg/s

• calculer la copuissance-transformation reçue si $s_1=5,031kJ.K^{-1}.k{g}^{-1}$ et $s_2=4,700\mathrm{k}\mathrm{J}\mathrm{.}{\mathrm{K}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{.}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$ pour $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\mathrm{2}}$ :

On a : ${\dot{E}}_w^{+}={\dot{M}}_{C{O}_2}.(k_1-k_2)={\dot{M}}_{C{O}_2}.[(h_1-h_2)-T_{atm}.(s_1-s_2)]$ = Modèle:Unité

• calculer la copuissance-chaleur fournie par le dioxyde :

Pour le dioxyde, on a $c_{P-C{O}_2}=808,8+0,4807.T_{C{O}_2}$ en $\mathrm{J}\mathrm{.}{\mathrm{K}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{.}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

$\mathrm{d}{\dot{E}}_{q-C{O}_2}^{-}=(1-\frac{T_{atm}}{T_{C{O}_2}})\delta \dot{Q}$

${\dot{E}}_{q-C{O}_2}^{-}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}(1-\frac{T_{atm}}{T_{C{O}_2}})\delta \dot{Q}=\dot{Q}-T_{atm}.\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\delta \dot{Q}}{T_{C{O}_2}}$

la chaleur fournie à l'eau par seconde est:

$\dot{Q}={\dot{M}}_{C{O}_2}.(h_1-h_2)=$ Modèle:Unité

et

$\delta \dot{Q}={\dot{M}}_{C{O}_2}.\mathrm{d}{h}_{C{O}_2}$

$T_{atm}.\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\delta \dot{Q}}{T_{C{O}_2}}=T_{atm}.{\dot{M}}_{C{O}_2}.\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\mathrm{d}{h}_{C{O}_2}}{T_{C{O}_2}}$

$T_{atm}.\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\delta \dot{Q}}{T_{C{O}_2}}=T_{atm}.{\dot{M}}_{C{O}_2}.\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{c_{P-C{O}_2}.\mathrm{d}{T}_{C{O}_2}}{T_{C{O}_2}}$

$T_{atm}.\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\delta \dot{Q}}{T_{C{O}_2}}=T_{atm}.{\dot{M}}_{C{O}_2}.\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{(808,8+0,4807.T_{C{O}_2}).\mathrm{d}{T}_{C{O}_2}}{T_{C{O}_2}}$

$T_{atm}.\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\delta \dot{Q}}{T_{C{O}_2}}=$ (273+27) (K) × 8900 (kg/s) × $[808,8.\mathrm{L}\mathrm{n}\frac{T_1}{T_2}+0,4807.(T_1-T_2)]=$ (300 K) × 3,01 = Modèle:Unité

donc

${\dot{E}}_{q-C{O}_2}^{-}=$ 1731,9 - 903 = Modèle:Unité

• calculer l'efficacité ε du resurchauffeur :

On a pour l'eau $s_3=$ 1,1900 (entrée) et $s_4=$ 6,8408 $\mathrm{k}\mathrm{J}\mathrm{.}{\mathrm{K}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{.}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$ (sortie).

On a : ${\dot{E}}_{w-H_{2}O}^{-}={\dot{M}}_{H_{2}O}.(k_4-k_3)={\dot{M}}_{H_{2}O}.[(h_4-h_3)-T_{atm}.(s_4-s_3)]$ = Modèle:Unité

L'efficacité ( ou rendement ) ε est donc:

$ϵ=\frac{energieutilisable}{energiefournie}=\frac{{\dot{E}}_{q-H_{2}O}^{-}}{{\dot{E}}_{w-C{O}_2}^{+}}$

$ϵ==\frac{692,1}{847,7}=$ 0,816 = 81,6 %

• Faire le bilan des pertes :

La perte exergétique du dioxyde est:

${\dot{E}}_{w-C{O}_2}^{+}-{\dot{E}}_{q-C{O}_2}^{-}=$ 847,7 - 828,5 = Modèle:Unité

La perte exergétique du système est:

${\dot{E}}_{w-C{O}_2}^{+}-{\dot{E}}_{w-H_{2}O}^{-}=$ 847,7 - 692,1 = Modèle:Unité

Notes

• pour aller plus loin, voir
  • le livre Thermodynamique et énergétique, Lucien Borel, Dinh Lan Nguyen et Magdi Batato, Presses polytechniques romandes, 1987.
  • le site mines-paristech.fr/exergie.html