Application multilinéaire/Exercices/Formes bilinéaires et bases

Exercice 1-1

Dire si les applications suivantes sont bilinéaires sur le $K$-espace vectoriel $E$ indiqué :

• $f_1(A,B)=AB,E={\mathrm{M}}_n(K)(n\in \mathbb{N})$ ;
• $f_2(z,w)=\mathrm{R}\mathrm{e}(zw),E=ℂ,K=ℂ$ ;
• $f_3(u,v)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}uv,E=C([0,1],ℝ),K=ℝ$ ;
• $f_4(u,v)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(u+v{)}^2,E=C([0,1],ℝ),K=ℝ$ ;
• $f_5(A,B)=\mathrm{T}\mathrm{r}(AB),E={\mathrm{M}}_n(K)(n\in \mathbb{N})$ ;
• $f_6(u,v)=uv,E=C([0,1],ℝ),K=ℝ$.

Exercice 1-2

Soient $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ -1& 3& 4\\ 9& 0& 1\end{array}\right)$ et $b$ la forme bilinéaire sur ${ℝ}^3$ de matrice $M$ dans la base canonique.

Donner l'expression de $b((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2))$, pour tout $(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\in {ℝ}^6$. Modèle:Solution

Exercice 1-3

Soit $b$ la forme bilinéaire sur ${ℝ}^3$ définie par :

$b((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=3x_1{y}_1-3x_1{y}_2-4x_1{y}_3-x_2{y}_1+3x_2{y}_2+3x_3{y}_1+6x_3{y}_2-9x_3{y}_3$.

1. Donner la matrice de $b$ dans la base canonique de ${ℝ}^3$.
2. Soient $f_1=(2,0,1)$, $f_2=(0,1,0)$ et $f_3=(1,1,-1)$. Montrer que $(f_1,f_2,f_3)$ est une base de ${ℝ}^3$.
3. Donner la matrice de $b$ dans cette base.

Exercice 1-4

Soit $B$ la forme bilinéaire sur ${ℝ}_2[X]$ définie par :

$B(f,g)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}fg$.

1. Est-elle dégénérée ?
2. Déterminer la matrice de $B$ dans la base canonique de ${ℝ}_2[X]$.
3. Soient $P_1=1$, $P_2=X-\frac{1}{2}$ et $P_3=X^2-X+\frac{1}{6}$. Montrer que $(P_1,P_2,P_3)$ est une base de ${ℝ}_2[X]$.
4. Déterminer la matrice de $B$ dans cette base, de deux manières

Modèle:Solution Soit $B$ la forme bilinéaire symétrique sur ${ℝ}_2[X]$ définie par :

$B(f,g)=f(0)g(0)+f(1)g(1)$.

1. Quel est son noyau ?
2. Déterminer la matrice de $B$ dans la base canonique de ${ℝ}_2[X]$.

Exercice 1-5

Soit $T$ la forme bilinéaire sur ${\mathrm{M}}_2(ℝ)$ définie par :

$T(A,B)=\mathrm{T}\mathrm{r}(AB)$.

1. Déterminer la matrice de $T$ dans la base canonique de ${\mathrm{M}}_2(ℝ)$.
2. Soient $E_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),E_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),E_3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),E_4=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$. Montrer que $(E_1,E_2,E_3,E_4)$ est une base de ${\mathrm{M}}_2(ℝ)$.
3. Déterminer la matrice de $T$ dans cette base, de deux manières.

Exercice 1-6

Trouver la matrice d'une forme bilinéaire dans la base $B^{\prime }=(e{\text{'}}_1,e{\text{'}}_2,e{\text{'}}_3)$ si la matrice de cette forme dans la base $B=(e_1,e_2,e_3)$ est

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\text{et si}\{\begin{array}{c}e{\text{'}}_1=e_1-e_2,\\ e{\text{'}}_2=e_1+e_3,\\ e{\text{'}}_3=e_1+e_2+e_3.\end{array}$

Exercice 1-7

Soient $𝒜,ℬ\in \mathrm{End}(E)$ et $f,g$ deux formes bilinéaires sur $E$ telles que $f(x,y)=g(𝒜x,ℬy)$. Soient $A,B,F,G$ les matrices de $𝒜,ℬ,f,g$ respectivement (dans une base fixée de $E$, qui est supposé de dimension finie). Trouver le lien entre $A,B,F,G$. Modèle:Solution

Exercice 1-8

Le noyau à gauche d'une forme bilinéaire $b$ est le sous-espace vectoriel constitué des vecteurs $u$ tels que $\mathrm{\forall }vb(u,v)=0$ et le noyau à droite est le sous-espace constitué des $v$ tels que $\mathrm{\forall }ub(u,v)=0$.

Trouver le noyau à droite et le noyau à gauche des formes bilinéaires données par les matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 1\\ 3& -5& 5\\ 5& -8& 6\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 2\\ 1& 3& 5\\ 3& 6& 9\end{array}\right)$.

Exercice 1-9

Soit $E={ℝ}^4$ et soit $b$ la forme bilinéaire dont la matrice dans la base canonique est :

$M=\left(\begin{array}{cccc}7& -2& -12& -6\\ -2& 0& 4& 3\\ -12& 4& 19& 9\\ -6& 3& 9& 2\end{array}\right)$.

1. Montrer que $b$ est symétrique et non dégénérée.
2. Donner des équations, puis une base de l'orthogonal pour $b$ du sous-espace ${ℝ}^2\times \{(0,0)\}\subset E$.
3. Mêmes questions pour $F:=\{0\}\times {ℝ}^2\times \{0\}$.
4. Calculer $F\cap F^{\perp }$.
5. Démontrer que $F$ contient des vecteurs isotropes non nuls.

Exercice 1-10

Soit $b$ la forme bilinéaire sur $K^4$ dont la matrice dans la base canonique est :

$M=\left(\begin{array}{cccc}9& -6& 0& -6\\ -6& 4& 0& 4\\ 0& 0& 1& -1\\ -6& 4& -1& 5\end{array}\right)$.

1. $b$ est-elle symétrique ?
2. Donner une base de son noyau.
3. Appliquer l'algorithme de Gauss à la forme quadratique $q$ définie par $q(v)=b(v,v)$ et comparer les résultats.

Exercice 1-11

Soit $E={\mathrm{M}}_n(ℝ)$.

1. Montrer que la forme bilinéaire $E\times E\to ℝ,(A,B)\mapsto \mathrm{Tr}(AB)$ est symétrique et non dégénérée.
2. Soit $M\in E$. Calculer la dimension des deux noyaux de la forme bilinéaire ${\ell }_M:(A,B)\mapsto \mathrm{Tr}(AMB)$, en fonction du rang de $M$.
3. Pour $M=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)$, donner la matrice de ${\ell }_M$ dans la base canonique de ${\mathrm{M}}_2(ℝ)$.

Exercice 1-12

Soit $q$ la forme quadratique sur ${ℝ}^3$ définie par : $q(x,y,z)=-x^2+2xy+4xz-y^2+z^2$. Décomposer $q$ en somme de carrés de formes linéaires et d'opposés de tels carrés, en utilisant la méthode de Gauss. En déduire une base dans laquelle l’expression de $q$ est de la forme $a{X}^2+b{Y}^2+c{Z}^2$. Quelle est la particularité de cette base ? Est-elle orthogonale ou orthonormale ? Modèle:Solution

Mêmes questions pour $q(x,y,z)=x^2+2y^2+5z^2+2xy+4yz$. Modèle:Solution

Considérons la forme quadratique

$q(x,y,z)=x^2+2y^2+13z^2-2xy+6xz-10yz$.

1. Écrire la matrice de $q$ dans la base canonique de ${ℝ}^3$.
2. Soit $\phi$ la forme bilinéaire symétrique associée, donner l'expression de $\phi ((x,y,z),(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }))$.
3. Déterminer la signature et le rang de $q$.
4. Déterminer une base orthogonale pour $q$.

Exercice 1-13

Pour chacune des formes quadratiques suivantes, donner sa forme polaire, puis des coordonnées dans lesquelles la forme est diagonale et la base de $E$ correspondante :

1. $E=K^2$, $q(x,y)=x^2-2xy+2y^2$ ;
2. $E=K^2$, $q(x,y)=xy$ ;
3. $E=K^3$, $q(x,y,z)=x^2-4xy+y^2+2yz-z^2$ ;
4. $E={(K_1[T])}^2$, $q(f,g)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}tf(t)g(t)\mathrm{d}t$.

Exercice 1-14

Soient $V=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{M}}_2(ℝ)|a=d\}$ et $J=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$. On considère la forme $B:V\times V\to ℝ,(M,N)\mapsto \mathrm{Tr}(MJN)$.

1. $B$ est-elle bilinéaire ? symétrique ? antisymétrique ?
2. Montrer que le triplet $ℬ:=(\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right))$ est une base de $V$.
3. Déterminer la matrice dans $ℬ$ de la forme quadratique $q:V\to ℝ,M\mapsto B(M,M)$.
4. Déterminer le noyau, le rang et la signature de $q$. La forme $q$ est-elle définie ? positive ? négative ?
5. Déterminer le $q$-orthogonal du sous-espace $F:=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)\right|a\in ℝ\}$.

Exercice 1-15

Effectuer une réduction de Gauss et déterminer le noyau, le rang et la signature des formes quadratiques suivantes :

1. $q:{ℝ}^3\to ℝ,(x,y,z)\mapsto 2x^2+y^2-z^2+3xy-4xz$ ;
2. $q:{ℝ}^3\to ℝ,(x,y,z)\mapsto x^2+y^2-a{z}^2+3xy-bxz+yz$ (discuter suivant les valeurs de $a,b\in ℝ$) ;
3. $q:{ℝ}^4\to ℝ,(x,y,z,t)\mapsto x^2+(1+2\lambda -\mu )y^2+(1+\lambda )z^2+(1+2\lambda +\mu )t^2+2xy+2xz-2xt+2(1-\lambda )yz-2(1+\lambda )yt+2(\lambda -1)zt$ (discuter suivant les valeurs de $\lambda ,\mu \in ℝ$) ;
4. $q:{ℝ}^5\to ℝ,(x,y,z,t,s)\mapsto xy-xt+yz-yt+ys+zt-zs+2st$ ;
5. $q:{ℝ}^3\to ℝ,(x,y,z)\mapsto x^2+(1+a)y^2+(1+a+a^2)z^2+2xy-2ayz$ (discuter suivant les valeurs de $a\in ℝ$) ;
6. $q_1(x,y,z)=6x^2+3y^2+3z^2-8xy-8xz-6yz$ ;
7. $q_2(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2(xy+yz+zx)$ ;
8. $q_3(x_1,\dots ,x_5)=\sum _{i<5}{x}_i{x}_{i+1}$ ;
9. $q_4(x,y,z,t)=3x^2+4y^2-z^2+2t^2+xy+4yz+yt$ ;
10. $q_5(x,y,z,t)=xy+yz+xz-yt+2zt+3xt$ ;
11. $Q(x,y,z)=a^2{x}^2+(1-a)y^2+(2-a)z^2-2axy+2axz+2(a-1)yz$ où $a$ est un paramètre réel.
12. $Q(y,x,z,t)=x^2+y^2+9z^2-2xy+6xz-6yz+2yt$ (au préalable, expliquer rapidement pourquoi $Q$ est une forme quadratique sur ${ℝ}^4$ et donner sa matrice dans la base canonique de ${ℝ}^4$) ;
13. $q(x,y,z)=2x^2-2y^2-6z^2+3xy-4xz+7yz$ ;
14. $q(x,y,z,t)=xy+yz+zt+tx$.

Exercice 1-16

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Pour tous $P,Q\in {ℝ}_n[X]$ (l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal ou $n$), on pose :

$B(P,Q)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}tP(t)Q^{\prime }(t)\mathrm{d}t\text{et}q(P)=B(P,P)$.

1. Montrer $B$ est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique ? antisymétrique ?
2. Montrer $q$ est une forme quadratique. La forme est-elle définie ?

Exercice 1-17

1. Soient $E$ un $ℝ$-espace vectoriel, $q$ une forme quadratique sur $E$, $v\in E$ et $F$ l'orthogonal de $v$ pour $q$. Donner, en la justifiant par une démonstration, une condition nécessaire et suffisante sur $v$ pour que $E=ℝv+F$.
2. Soient $E$ un $ℝ$-espace vectoriel, $b$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$ et $F$ un supplémentaire de $\ker b$ dans $E$. Montrer que $b{|}_{F\times F}$ est non dégénérée.
3. Soient $E$ un $ℝ$-espace vectoriel de dimension $4$, $q$ une forme quadratique de signature $(2,2)$ sur $E$, $v\in E$ tel que $q(v)<0$ et $F$ l'orthogonal de $v$ pour $q$. Montrer que la signature de $q{|}_F$ est $(2,1)$.

Exercice 1-18

1. Énoncer le théorème de Sylvester.
2. Énumérer les différentes classes de formes quadratiques non nulles de ${ℝ}^2$.

Exercice 1-19

Soient $E={ℝ}^4$ et $B=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ sa base canonique. On considère la forme quadratique $q$ définie sur $E$ par :

$q(x,y,z,t)=x^2+2y^2+2xy+2yz+2yt$.

1. 1. Déterminer la matrice de $q$ dans la base $B$.
   2. La forme $q$ est-elle non dégénérée ?
2. On considère les trois vecteurs $u_1=e_1,u_2=2e_1+e_3,u_3=3e_1+e_4$ et le sous-espace $F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_3)$.
   1. Déterminer la dimension de $F$.
   2. Déterminer l'orthogonal de $F$ pour $q$. Quelle est sa dimension ?
   3. Retrouver la réponse à la question 1.2 en donnant un nouvel argument.
3. 1. Déterminer la signature de $q$.
   2. Retrouver la réponse à la question 1.2 en donnant encore un nouvel argument.
4. Déterminer le noyau de $q$.
5. Donner une base de $E$ orthogonale pour $q$.

Exercice 1-20

Soit $E={ℝ}_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes réels de degré $\le 2$. On définit la forme quadratique $q$ sur $E$ par : :si $P(X)=a{X}^2+bX+c\in E$, $q(P)=b^2-4ac$.

1. Donner la matrice de $q$ dans la base $(X^2,X,1)$ de $E$.
2. Donner une description simple du cône isotrope de $q$.
3. Déterminer le rang et la signature de $q$.
4. Trouver une base orthogonale de $E$.
5. Soit $r\in ℝ$ et soit $H$ le sous-espace vectoriel de $E$ formé des polynômes $P\in E$ tels que $P(r)=0$.
   1. Montrer que $H$ est un hyperplan.
   2. Quelle est la dimension de $H$ ?
   3. Montrer que $(X-r,(X-r{)}^2)$ est une base de $H$.
   4. Déterminer $H$.

Exercice 1-21

Soit $E$ un $K$-espace vectoriel muni d'une forme quadratique $q$ non dégénérée. On dit qu'un plan $P$ de $E$ est $q$-hyperbolique s'il existe une base $(e_1,e_2)$ de $P$ telle que $q(e_1)=q(e_2)=0$ et $f(e_1,e_2)=1$ où $f$ désigne la forme polaire de $q$.

1. Soit $X$ un vecteur non nul isotrope de $E$, montrer qu'il existe dans $E$ un plan $q$-hyperbolique contenant $X$.
2. En déduire que si le cône isotrope $C(q):=\{x\in E\mid q(x)=0\}$ n'est pas réduit à $\{0\}$ alors il contient une base de $E$.

Soit $E$ un $ℝ$-espace vectoriel muni d'une forme quadratique $Q$, de noyau $\ker Q$ et de cône isotrope $C(Q)\supset \ker Q$.

Montrer que $C(Q)=\ker Q$ si et seulement si $Q$ est de signe constant. Modèle:Solution

Exercice 1-22

Sur ${ℝ}^n$ avec $n\ge 2$ et avec la notation $x=(x_1,\dots ,x_n)$, on considère la forme quadratique $Q(x)=\sum _{1\le i<j\le n}(-1{)}^{i+j}{x}_i{x}_j$.

1. Soient $\ell$ la forme linéaire $\ell (x)=\sum _{1\le i\le n}(-1{)}^i{x}_i$ et $H$ l'hyperplan $\ker (\ell )$.
   1. Démontrer que ${\ell }^2(x)=\sum _{1\le i\le n}{x}_i^2+2Q(x)$.
   2. Démontrer que si $x\in H\setminus \{0\}$ alors $Q(x)<0$.
2. En déduire la signature de $Q$.

Exercice 1-23

Noyau, rang et signature de la forme quadratique de matrice $M=(\sin (i+j){)}_{1\le i,j\le n}$. Modèle:Solution

Exercice 1-24

Soit $q$ définie sur ${\mathrm{M}}_2(ℝ)$ par $q(A)=\det A$.

1. Vérifier que $q$ est une forme quadratique.
2. Déterminer son noyau, son rang, sa signature.
3. Soit $H=\{A\in {\mathrm{M}}_2(ℝ)\mid \mathrm{T}\mathrm{r}(A)=0\}$. Préciser l'orthogonal de $H$ pour $q$.

Exercice 1-25

Soient $v,w$ deux vecteurs unitaires de ${ℝ}^3$ euclidien orienté. À tout vecteur $x$ on associe le réel

$\mathrm{\Phi }(x)=⟨x,v\wedge (w\wedge x)⟩$ (voir la leçon Produit vectoriel).

1. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est une forme quadratique.
2. Trouver une base orthonormée de ${ℝ}^3$ qui soit orthogonale pour $\mathrm{\Phi }$.
3. $\mathrm{\Phi }$ est-elle définie ? positive ?

Lien externe

Modèle:Lien web (9 exercices corrigés)