Fonctions convexes/Exercices/Inégalité de Minkowski

Exercice 2-1

Soient un espace mesuré $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ et un réel $p\ge 1$.

Pour toute fonction mesurable $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ de puissance p-ième intégrable, on pose

$\Vert f{\Vert }_p={(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}$.

Soient deux fonctions mesurables $f,g:\mathrm{\Omega }\to ℂ$, de puissances p-ièmes intégrables. On souhaite démontrer l'inégalité de Minkowski :

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$.

1. Se ramener au cas où $f,g$ sont à valeurs dans ${ℝ}_{+}$ et $\Vert f{\Vert }_p,\Vert g{\Vert }_p\ne 0$.
2. Déterminer alors $t\in [0,1]$ tel que $\frac{f+g}{\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p}=t\frac{f}{\Vert f{\Vert }_p}+(1-t)\frac{g}{\Vert g{\Vert }_p}$.
3. Montrer qu'alors, ${\left(\frac{f+g}{\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p}\right)}^p\le t{\left(\frac{f}{\Vert f{\Vert }_p}\right)}^p+(1-t){\left(\frac{g}{\Vert g{\Vert }_p}\right)}^p$.
4. Conclure.
5. En déduire la forme discrète de l'inégalité de Minkowski.