Rayonnement électromagnétique/Approximation dipolaire magnétique

Dans ce cours on va, cette fois-ci, s'intéresser au rayonnement d'un dipôle magnétique.

Notion de dipôle magnétique

On considère une boucle de courant $I$ et de surface $S$. Modèle:Définition

Avec une densité volumique de courant

Cette partie est pour la culture mais ne sert pas directement au calcul.

Le moment magnétique infinitésimal est défini par $\mathrm{d}\overrightarrow{m}=\frac{1}{1}{\overrightarrow{r}}^{\prime }\wedge \overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$. Modèle:Définition

Approximation dipôle magnétique

Il s'agit des mêmes hypothèses que l'approximation champ lointain, avec cette fois-ci $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}$.

Ainsi dans le DL de $e^{-ik\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }}$ on ne peut prendre que le second ordre (sinon $\overrightarrow{A}=\overrightarrow{0}$) de la forme $-ik\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Ainsi :

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}\int \overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime })(-ik\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

On considère ici une boucle de courant $I$, ainsi $\int \overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime })(-ik\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }=\int I(-ik\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime })\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Il faut ensuite utiliser la formule d'analyse vectorielle suivante : $\int f({\overrightarrow{r}}^{\prime })\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}^{\prime }=-\int \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}f\wedge {\mathrm{d}}^2{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Ainsi on obtient :

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}Iik\int \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}(\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime })\wedge {\mathrm{d}}^2{\overrightarrow{r}}^{\prime }=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}Ii\overrightarrow{k}\wedge \int {\mathrm{d}}^2{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Finalement : $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}i\overrightarrow{k}\wedge (I\overrightarrow{S})$ Modèle:Théorème