Rayonnement électromagnétique/Approximation dipolaire électrique

Dans ce cours, nous allons préciser faire une nouvelle approximation, plus forte que l’approximation en champ lointain, qui permet de modéliser le rayonnement d'un dipôle électrique oscillant de moment dipolaire $\overrightarrow{p}$.

Notion de dipôle électrique

Extension au cas continu

Dans le cas continu, la quantité infinitésimal de charge $\delta q$ s'écrit $\delta q=\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$.

Ainsi $\mathrm{d}\overrightarrow{p}=\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\overrightarrow{r}}^{\prime }{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$. Modèle:Définition

Rayonnement d'un dipôle électrique oscillant

Rappel

On part de l'expression de $\overrightarrow{A}$ dans l’approximation champ lointain :

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}\int \overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime })e^{-ik\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }}{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Hypothèses

On part déjà des hypothèses classiques de l'approximation en champ lointain : $|\overrightarrow{r}|>>L$ et $|\overrightarrow{r}|>>\frac{L^2}{\lambda }$.

On aimerait cette fois-ci écrire $e^{-ik\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }}\simeq 1$.

Pour ça il faut $k|{\overrightarrow{r}}^{\prime }|\simeq \frac{2\pi }{\lambda }L<<2\pi$ d'où $\lambda >>L$.

De plus, on constate $|\overrightarrow{r}|>>\frac{L^2}{\lambda }$ implique $\lambda >>L$, on peut donc se contenter de cette dernière condition parmi les deux. Modèle:Définition

Expression du potentiel dans l'approximation dipolaire électrique

Avec ces conditions on a :

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}\int \overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Or, on a $\overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime })=\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })\overrightarrow{v}({\overrightarrow{r}}^{\prime })=\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{\mathrm{d}t}\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })=-i\omega {\overrightarrow{r}}^{\prime }\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })$

Ainsi :

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}(-i\omega )\int \rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\overrightarrow{r}}^{\prime }{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Or, on a $\overrightarrow{p}=\int \rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\overrightarrow{r}}^{\prime }{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$.

Ainsi : Modèle:Théorème