Polynôme/Exercices/Arithmétique des polynômes

Exercice 3-1

Soit $P\in ℂ[X]$. Montrer que $P(P(X))-X$ est divisible par $P(X)-X$. Modèle:Solution

Exercice 3-2

Soient $A=X^3+2X^2+X+2$ et $B=X^4+X^3+2X^2+X+1$.

1. Calculer, à l'aide de l'algorithme d'Euclide, $\mathrm{pgcd}(A,B)$.
2. Donner, dans $ℂ[X]$, la décomposition de $A$ et de $B$ en produit de facteurs irréductibles.
3. Calculer $\mathrm{ppcm}(A,B)$.

Exercice 3-4

1. Déterminer le PGCD et le PPCM des polynômes :
   1. $A:=X^6+X^4-X-1$ et $B:=X^5-3X^4+3X^3-2X^2-X+2$ ;
   2. $P:=X^4+X+1$ et $Q:=X^2+X+1$.
2. Déterminer $(U,V)\in (ℝ[X]{)}^2$ vérifiant $UP+VQ=1$.

1. Quel est le pgcd $D$ des polynômes $A=X^4+2X^3-X^2-4X-2$ et $B=X^4+X^3-X^2-2X-2$ ?
2. Trouver des polynômes $U,V$ tels que $AU+BV=D$.
3. Mêmes questions avec $A=X^4-X^3-4X^2+4X+1$ et $B=X^2-X-1$.

Exercice 3-5

Soient $P\in ℝ[X]$ et $x_0\ne x_1\in ℝ$. On suppose que le reste de la division (euclidienne) de $P$ par $X-x_i$ est $y_i$. Quel est le reste de la division de $P$ par $(X-x_0)(X-x_1)$ ? Modèle:Solution Quel est le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2+1$ ? Modèle:Solution Quel est le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2+X+1$ ? Modèle:Solution Quel est le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)(X-2)(X-3)$ ? Modèle:Solution En utilisant la dérivation, trouver le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1{)}^2$. Modèle:Solution Trouver de même le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X^2+1{)}^2$. Modèle:Solution

Exercice 3-6

1. Décomposer dans $ℂ[X]$ et $ℝ[X]$ les polynômes $A=X^3+1$, $B=X^3-1$ et $C=X^4+X^2+1$.
2. En déduire $A\wedge C$, $B\wedge C$, $A\vee C$ et $B\vee C$.

Exercice 3-7

1. Montrer que $\mathbb{Z}[X,Y]$ est un anneau factoriel.
2. Montrer que $X^2+Y^2+1$ est irréductible dans $\mathbb{Z}[X,Y]$.
3. Calculer le pgcd de $X^3{Y}^2+X{Y}^4+X{Y}^2$ et $X^3+X^2+X{Y}^2+Y^2+X+1$.

Exercice 3-8

Déterminer $P\in ℝ[X]$ de degré minimal tel que $P+1$ soit divisible par $(X-1{)}^3$ et $P-1$ par $(X+1{)}^3$. Modèle:Solution

Exercice 3-9

Soient $P,Q\in ℝ[X]$ tels que $Q^2\mid P^2-1$. Montrer que $P\wedge Q=1$ puis, que $Q\mid P^{\prime }$. Modèle:Solution

Exercice 3-10

On considère les polynômes $A_n=\sum _{k=0}^n{X}^{2k}$.

1. Calculer, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ : $A_{n+1}-X^2{A}_n$.
2. Montrer que $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}{A}_n\wedge A_{n+1}=1$.
3. Montrer que $\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}{A}_1\mid A_{2p+1}$.
4. Montrer que $A_1\mid A_n$ (si et) seulement si $n$ est impair.
5. Quelles sont les racines complexes de $A_n$ ?

Exercice 3-11

Soient $n$ et $m$ deux entiers positifs.

1. Déduire de la division euclidienne de $n$ par $m$ celle de $X^n-1$ par $X^m-1$.
2. Déduire du pgcd de $n$ et $m$ celui de $X^n-1$ et $X^m-1$.
3. Quel est le pgcd de $P=X^5+X^4+X^3+X^2+X+1$ et $Q=X^7+X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1$ ?
4. Quel est le pgcd de $P=X^{47}+X^{46}+\dots +X^2+X+1$ et $Q=X^{14}+X^{13}+\dots +X^2+X+1$ ?
5. Trouver deux polynômes $U,V\in \mathbb{Z}[X]$ tels que $(X^5-1)U+(X^9-1)V=X-1$.

Exercice 3-12

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

1. Montrer $\mathrm{\exists }!(P,Q)\in {ℝ}_{n-1}[X]\times {ℝ}_{n-1}[X](1-X{)}^{n}P(X)+X^{n}Q(X)=1$.
2. Montrer que $P(X)=Q(1-X)$.
3. Montrer que $\mathrm{\exists }a\in {ℝ}^{*}(1-X)P^{\prime }(X)-nP(X)=a{X}^{n-1}$.
4. Calculer $P$ pour $n=3$. Le retrouver par l'algorithme d'Euclide.

Exercice 3-13

1. Effectuer la division euclidienne de $A:=2X^4-4X^3-7X-14$ par $B:=X^2-2X-2$.
2. En déduire $A(1+\sqrt{3})$ et $A(1-\sqrt{3})$.
3. Effectuer la division euclidienne de $A:=X^4+1$ par $B:=4X^2-X$.

Exercice 3-14

1. Effectuer la division euclidienne de $A:=X^4+2X^3-2X^2-3X+2$ par $X^2+X$.
2. En déduire une décomposition de $A$ en un produit de deux polynômes du second degré.
3. Donner la décomposition en facteurs irréductibles de $A$ dans $ℝ[X]$.

Exercice 3-15

Soit $K$ un Modèle:W. Répertorier les idéaux premiers de $K[X,Y]$. Modèle:Solution

Exercice 3-16

1. Quels sont les facteurs irréductibles de $X^4-1$ et de $X^4+1$ dans $\mathbb{Q}[X]$, dans $ℝ[X]$, dans $ℂ[X]$ ?
2. Soit $a$ un entier non nul. Montrer que $X^4+a{X}^2-1$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$.

Exercice 3-17

1. Soient A un Modèle:W, p un Modèle:W de A, et $P\in A[X]$. On suppose que l'image $\bar{P}$ de P dans (A/pA)[X] est irréductible et de même degré que P. Montrer qu'alors, P est irréductible sur le corps des fractions de A.
2. Donner un exemple montrant que l'hypothèse sur les degrés est indispensable.
3. Montrer que le polynôme $P=X^6+18X^5+12X^4-6X^3+32X^2+13X+45$ est irréductible sur $\mathbb{Z}$.

Exercice 3-18

Soient $K$ un corps et $g\in K[X]$, de degré $m\ge 1$. Montrer que tout polynôme $f\in K[X]$ s'écrit de façon unique

$f=f_0+g{f}_1+g^2{f}_2+\dots +g^d{f}_d$ avec $f_i\in K[X]$ de degré $<m$.

Exercice 3-19

Soient $\lambda \in ℂ$, $P\in ℂ[X]$ et $N\in \mathbb{N}$ tels que pour tout entier $n>N$, ${\lambda }^n=P(n)$. Montrer que $\lambda$ est égal à $0$ ou $1$. Modèle:Solution Plus généralement, soient ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ des complexes non nuls distincts, $P_1,\dots ,P_r\in ℂ[X]$ et $N\in \mathbb{N}$ tels que pour tout entier $n>N$, $\sum _{i=1}^r{\lambda }_i^n{P}_i(n)=0$. Montrer que tous les polynômes $P_i$ sont nuls. Modèle:Solution