Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Fonction arctan

Exercice 2-1

Soit $a$ un réel fixé.

1. Étudier les variations de la fonction :

   $f:x\mapsto \arctan \frac{a+x}{1-ax}-\arctan x$.

2. En déduire que pour tout réel $b$ tel que $ab<1$,

   $\arctan a+\arctan b=\arctan \frac{a+b}{1-ab}$.

3. Que dire si $ab\ge 1$ ?

Exercice 2-2

On se propose d'établir, par deux méthodes différentes : $\mathrm{\forall }t>0\arctan t>\frac{t}{1+t^2}$.

1. Étudier les variations sur ${ℝ}_{+}$ de la fonction $f(t)=\arctan t-\frac{t}{1+t^2}$ et en déduire le résultat.
2. Montrer que la fonction $\arctan$ vérifie les hypothèses du théorème des accroissements finis sur $[0,t]$ et en déduire le même résultat.