Vecteurs et droites du plan/Exercices/Équations de droites

Exercice 3-1

Déterminer une équation cartésienne de la droite :

1. $d_1$ passant par le point $A(-1;2)$ et parallèle à la droite $d_2$ d'équation : $3x-7y+1=0$ ;
2. $d_3$ passant par le point $B(-6;2)$ et parallèle à la droite $d_4$ d'équation : $y=\frac{2}{3}x-2$ ;
3. passant par $(1,1)$ et dirigée par $(1,0)$ ;
4. passant par les points $(1,0)$ et $(1,1)$.

Modèle:Solution Déterminer une équation cartésienne et une paramétrisation de la droite :

1. passant par $(1,2)$ et dirigée par $(2,-1)$ ;
2. passant par $(1,1)$ et dirigée par $(-2,1)$ ;
3. passant par $(1,2)$ et parallèle à la droite joignant les points $(0,1)$ et $(-1,2)$ ;
4. passant par $(1,1)$ et parallèle à la droite joignant les points $(0,1)$ et $(-1,2)$.

Exercice 3-2

Dans ${ℝ}^2$, on considère les droites $d_1$ et $d_2$ d'équations respectives : $x-2y+1=0$ et $-3x+y+1=0$.

1. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Si non, déterminer les coordonnées de leur d'intersection.
2. Déterminer une équation de la droite $d_3$ de coefficient $\frac{1}{2}$ et passant par le point $(2,-3)$.
3. Les droites $d_1$ et $d_3$ sont-elles parallèles ? Si non, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Exercice 3-3

Dans le plan muni d'un repère, on considère les points $A(-4;1)$, $B(1;-1)$, $C(-2;2)$ et $D(-3;3)$.

Donner une équation cartésienne de la droite vectorielle engendrée par le vecteur $(1,-2)$. On note $I$ le milieu du segment $[AB]$ et $G$ le point tel que $\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Le but de cet exercice est de démontrer que les droites $(AD)$, $(CI)$ et $(BG)$ sont concourantes.

1. Justifier que les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés.
2. 1. Démontrer que la droite $(CI)$ a pour équation cartésienne $4x+y+6=0$.
   2. Démontrer une équation cartésienne de la droite $(AD)$.
   3. Justifier que les droites $(AD)$ et $(CI)$ sont sécantes en un point $K$ dont on déterminera les coordonnées.
3. Montrer alors que les droites $(AD)$, $(CI)$ et $(BG)$ sont concourantes.

Exercice 3-4

Soient $a,b$ deux réels, non tous deux nuls. Donner une équation cartésienne de la droite vectorielle de ${ℝ}^2$ engendrée par le vecteur $(a,b)$. Modèle:Solution

Exercice 3-5

Écrire un paramétrage de la droite affine de ${ℝ}^2$ passant par deux points distincts $A$ et $B$, de coordonnées respectives $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$. Modèle:Solution

Exercice 3-6

On considère les ensembles $𝒟=\{(1-t,2t)\mid t\in ℝ\}$ et ${𝒟}^{\prime }=\{(3s,2-6s)\mid s\in ℝ\}$.

1. Démontrer que ce sont des droites affines.
2. Donner quelques exemples de points (par leurs coordonnées) et de vecteurs directeurs de $𝒟$ et ${𝒟}^{\prime }$.
3. Montrer que $𝒟={𝒟}^{\prime }$.
4. Donner un exemple de paramétrage d'une droite strictement parallèle à celle-ci.