Vecteurs et droites du plan/Décomposition d'un vecteur

Base

Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non colinéaires.

Le couple $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$ est appelé la base du plan.

Rémarque

Dès qu'on a trois points non alignés, on a une base de plan.

Exemple

Soit $EFG$ un triangle non aplati, alors le couple $(\overrightarrow{EF};\overrightarrow{EG})$ est une base de plan.

Décomposition

Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non colinéaires.

Pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$ du plan, il existe un unique couple $(k;k\prime )$ de réels tels que $\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u}+k\prime \overrightarrow{v}$.

Exemple

Soit $AGF$ un triangle non aplati. Les points $B$ et $C$ sont tels que $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{GC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{GF}$.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Solution

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}$

$\overrightarrow{BC}=-(2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AF})+\overrightarrow{AG}+\frac{1}{3}\overrightarrow{GF}$

$\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AG}+\frac{1}{3}\overrightarrow{GA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AG}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{BC}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AG}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}(-\frac{4}{3}\overrightarrow{AG}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AF})$

$-\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}=-\frac{3}{2}(-\frac{4}{3}\overrightarrow{AG}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AF})$

$-\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$ donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Repère

Définition

Soit $O$ un point de plan et $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non colinéaires de ce plan : l'ensemble de ces trois données définit un repère, noté $(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$.

Pour tout point $M$ du plan, il existe un unique couple $(a;b)$ de réels tel que $\overrightarrow{OM}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$.

On traduit cela par : $M$ a pour coordonnées $(a;b)$ dans le repère $(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$.

Exemple

Soit $EIAJ$ et $JABC$ deux parallélogrammes tels que $\overrightarrow{EJ}=\overrightarrow{JC}$.

Déterminer les coordonnées de $A$ et $B$ dans le repère $(E;\overrightarrow{EI};\overrightarrow{EJ})$.

Solution

Soit $(E;\overrightarrow{EI};\overrightarrow{EJ})$ un repère où $E(0;0)$, $I(1;0)$ et $J(0;1)$.

$\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{EJ}+\overrightarrow{JA}$

$\overrightarrow{EA}=1\overrightarrow{EJ}+1\overrightarrow{EI}$ où $EIAJ$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{JA}=\overrightarrow{EI}$

Donc $A(1;0)$

$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{CB}$

$\overrightarrow{EB}=1\overrightarrow{EI}+2\overrightarrow{EJ}$ où $EIAJ$ et $JABC$ sont des parallélogrammes donc $\overrightarrow{EJ}=\overrightarrow{JC}$ et $\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{CB}$

Donc $B(1;2)$