Résultant/Exercices/Résultant

Exercice 1-1

Soit $P(X)=a{X}^4+b{X}^3+c{X}^2+dX+e$.

1. À l'aide de l'exercice 2-8 de la leçon sur l'équation du troisième degré, exprimer $P(X)P(Y)P(Z)$ en fonction des 5 coefficients de $P$ et des trois polynômes symétriques élémentaires en $X,Y,Z$.
2. Pour $Q(X)=p{X}^3+q{X}^2+rX+s=p(X-y_1)(X-y_2)(X-y_3)$ avec $p\ne 0$, en déduire l'expression de $P(y_1)P(y_2)P(y_3)$ en fonction des 9 coefficients de $P$ et $Q$.
3. En déduire l'expression de $\mathrm{Res}(Q,P)$ en fonction de ces 9 coefficients et du degré $n$ de $P$ ($0\le n\le 4$).
4. Dans le cas $a=b=0$ et $c\ne 0$, comparer avec l'exemple vu cours.

Exercice 1-2

1°) Soient des polynômes non nuls :

• $P$ de degré $n$ et de coefficient dominant $a$ ;
• $R$ de degré $m^{\prime }$ ;
• $Q=b{X}^m+R$ avec $b\ne 0$ et $m>m^{\prime }$.

Montrer que

$\mathrm{Res}(P,Q)=bx+a^{m-m^{\prime }}\mathrm{Res}(P,R)$

pour un certain $x$, polynomial (à coefficients entiers) en les coefficients de $P$ et $Q$. Modèle:Solution

2°) Soient deux polynômes non nuls :

• $P(X)=a{X}^4+b{X}^3+c{X}^2+dX+e$, de degré $n$ ($\le 4$)
• $Q(X)=p{X}^3+q{X}^2+rX+s$, de degré $m$ ($\le 3$)

Grâce à la question précédente, déduire de exercice 1-1, pour les diverses valeurs du couple $(m,n)$, l'expression de $\mathrm{Res}(Q,P)$ en fonction des coefficients de $P$ et $Q$. Modèle:Solution