Résultant/Exercices/Discriminant

Exercice 2-1

Soient $P$ un polynôme non constant et $\lambda$ une constante. Démontrer que ${\mathrm{\Delta }}_{P+\lambda }={\mathrm{\Delta }}_P$ Modèle:Solution

Exercice 2-2

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non constants. Démontrer que ${\mathrm{\Delta }}_{PQ}={\mathrm{\Delta }}_P{\mathrm{\Delta }}_Q{(\mathrm{Res}(P,Q))}^2$ Modèle:Solution

Exercice 2-3

Soit $P(X)=a{X}^4+b{X}^3+c{X}^2+dX+e$, de degré 4. À l'aide de l'exercice 1-1 (ou 3-1), calculer ${\mathrm{\Delta }}_P$ en fonction des coefficients de $P$. Modèle:Solution

Exercice 2-4

Soient $P$ un polynôme de degré n > 0 et $\lambda$ une constante non nulle. On pose $Q(X)=P(\lambda X)/{\lambda }^n$. Exprimer ${\mathrm{\Delta }}_Q$ en fonction de ${\mathrm{\Delta }}_P$, $\lambda$ et $n$. Modèle:Solution

Exercice 2-5

Soient $P$ un polynôme unitaire de degré n > 0 et de terme constant $\lambda \ne 0$. On pose $Q(X)=X^{n}P(1/X)/\lambda$. Exprimer ${\mathrm{\Delta }}_Q$ en fonction de ${\mathrm{\Delta }}_P$, $\lambda$ et $n$. Modèle:Solution