Opérations sur les fonctions/Exercices/Composition

Exercice 1

1. On note $h$ l'application définie sur $ℝ\setminus \{0,1\}$ par : $h\left(x\right)=1-\frac{1}{x}$. Vérifier que $h$ est à valeurs dans $ℝ\setminus \{0,1\}$ et calculer $h\circ h\left(x\right)$ et $h\circ h\circ h\left(x\right)$.
2. Soit $f:ℝ\setminus \{0,1\}\to ℝ$ une application telle que (pour tout $x\in ℝ\setminus \{0,1\}$)
   $f\left(x\right)+f\circ h\left(x\right)=ax+b$.
   Calculer, en fonction de $x$, $f\left(x\right)$, $h\left(x\right)$ et $h\circ h\left(x\right)$, les valeurs de $f\circ h\left(x\right)$, $f\circ h\circ h\left(x\right)$ et $f\circ h\circ h\circ h\left(x\right)$.
3. En déduire que pour tout $x\in ℝ\setminus \{0,1\}$, $f\left(x\right)=\frac{ah\circ h\left(x\right)-ah\left(x\right)+ax+b}{2}$.
4. Vérifier que réciproquement, la fonction $g:ℝ\setminus \{0,1\}\to ℝ$ définie par $g\left(x\right)=\frac{ah\circ h\left(x\right)-ah\left(x\right)+ax+b}{2}$ vérifie $g\left(x\right)+g\circ h\left(x\right)=ax+b$.