Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Équation de Pell-Fermat

Modèle:Devoir Modèle:Wikipédia On rappelle que pour $x$ algébrique de degré $\le 2$ :

• le « conjugué » de $x$, noté $x_c$, est par définition l'autre racine de son polynôme minimal si $x\notin \mathbb{Q}$, et $x$ lui-même si $x\in \mathbb{Q}$ ;
• $\mathrm{\forall }u,v\in \mathbb{Q}(ux+v{)}_c=u{x}_c+v$ et si $x\ne 0$, ${\left(\frac{1}{x}\right)}_c=\frac{1}{x_c}$ (cf. [[../../Exercices/Approximation diophantienne et fractions continues#Exercice 2-7|exercice 2-7]], question 5) ;
• la « trace » de $x$ est par définition le rationnel $\mathrm{Tr}(x):=x+x_c$ ;
• la « norme » de $x$ est par définition le rationnel $\mathrm{N}(x):=x\times x_c$.

On suppose dans ce problème que $x$ est un irrationnel quadratique et l'on note (pour tout $n\in \mathbb{N}$) $x_n:=[a_n,a_{n+1},\dots ]$ le $n$-ième quotient complet de son développement en fraction continue. On rappelle qu'il existe deux suites d'entiers, $(h_n{)}_{n\ge -2}$ et $(k_n{)}_{n\ge -2}$ (nécessairement uniques), telles que $k_n\ge 0$ et

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{x}_n=-\frac{x{k}_{n-2}-h_{n-2}}{x{k}_{n-1}-h_{n-1}}\text{et}{h}_{n-1}{k}_{n-2}-k_{n-1}{h}_{n-2}=(-1{)}^n$.

1. Soient $V_n$ les rationnels définis par :

   $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}(-1{)}^n{V}_n:=\mathrm{N}(x{k}_{n-1}-h_{n-1})$.

   Développer et simplifier $(-1{)}^n{V}_n{x}_n$ de manière à l'écrire comme la somme de $(-1{)}^{n}x$ et d'un rationnel.

   On obtient donc : $V_n{x}_n-x\in \mathbb{Q}$.

2. Montrer qu'il n'existe pas d'autre rationnel $V$ tel que $V{x}_n-x\in \mathbb{Q}$.
3. On suppose désormais que l'irrationnel quadratique $x$ est même un « entier quadratique » — c'est-à-dire que les rationnels $S:=\mathrm{Tr}(x)$ et $P:=\mathrm{N}(x)$ sont en fait entiers — et que $x>x_c$.
   1. Montrer que l'entier $\mathrm{\Delta }:=S^2-4P$ est strictement supérieur à $4$.
   2. En déduire que $x-x_c>2$ puis, que $x_c-a_0<-1$.
   3. En déduire que $x_1$ est « réduit », c'est-à-dire $x_1>1$ et $\frac{1}{(x_1{)}_c}<-1$.
4. Par conséquent ([[../../Approximation diophantienne et fractions continues#Fraction continue d'un irrationnel quadratique|corollaire de Galois]]) :
   • la fraction continue de $x_1$ est « purement périodique », autrement dit, en notant $p$ sa période : $x=[a_0,x_1]=[a_0,\overline{a_1,\dots ,a_p}]$ ;
   • pour tout $j\ge 1$, $x_j$ est réduit.

   En déduire que :

   1. les rationnels $V_n$ sont positifs (indication : montrer et utiliser que $V_n{x}_n-x=V_n(x_n{)}_c-x_c$) ;
   2. $\mathrm{N}(x{k}_{n-1}-h_{n-1})=\pm 1$ si et seulement si $V_n=1$ ;
   3. si $V_n=1$, alors $n$ est un multiple de $p$ (indication : $V_n{x}_n-x\in \mathbb{Z}$, d'après le calcul de la question 1 et l'hypothèse $\mathrm{Tr}(x),\mathrm{N}(x)\in \mathbb{Z}$) ;
   4. réciproquement, si $n$ est un multiple de $p$, alors $V_n=1$.

   On obtient donc : $\mathrm{N}(x{k}_{n-1}-h_{n-1})=\pm 1$ si et seulement si $n$ est un multiple de $p$.

5. Application à $x:=\sqrt{d}$. Pour résoudre l'équation de Pell-Fermat $h^2-d{k}^2=\pm 1$ où $d$ est un entier positif non carré, on développe $x:=\sqrt{d}$ en fraction continue.

   Dans chacun des deux cas suivants, déterminer les ensembles

   $J_1:=\{j\in \mathbb{N}\mid h_j^2-d{k}_j^2=+1\}\text{et}{J}_{-1}:=\{j\in \mathbb{N}\mid h_j^2-d{k}_j^2=-1\}$

   et la valeur de $(h_j,k_j)$ pour $j:=\min (J_1\cup J_{-1})$ :

   1. cas $d=11$, sachant que $\sqrt{11}=[3,\overline{3,6}]$ ;
   2. cas $d=41$, sachant que $\sqrt{41}=[6,\overline{2,2,12}]$.