Translation et homothétie/Exercices/Expressions analytiques

Exercice 6-1

Soit $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ un repère. Déterminer, dans chacune des situations suivantes, l'expression analytique des transformations $f$, $g$ et $g\circ f$.

1°  $f$ est la translation de vecteur $2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$.

$g$ est l'homothétie de centre $A(3,-1)$ et de rapport $-2$.

2°  $f$ est l'homothétie de centre $B(1,2)$ et de rapport $-3$.

$g$ est l'homothétie de centre $C(2,1)$ et de rapport $-\frac{1}{3}$.

3°  $f$ est l'homothétie de centre $D(1,-4)$ et de rapport $2$.

$g$ est l'homothétie de centre $E(0,3)$ et de rapport $-3$.

Exercice 6-2

Dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, soient :

• $𝒟$ la droite d'équation $x-2y+5=0$ ;
• $𝒞$ le cercle d'équation $x^2+y^2-2x+6y=0$.

Déterminez les images de $𝒟$ et de $𝒞$ par :

1. la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{u}=-4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ ;
2. la translation $t^{\prime }$ de vecteur ${\overrightarrow{u}}^{\prime }=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ ;
3. l'homothétie $h$ de centre $I(1,-3)$ et de rapport $2$ ;
4. l'homothétie $h^{\prime }$ de centre $J(-1,2)$ et de rapport $-3$.

Exercice 6-3

Dans un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, soient :

• $𝒟$ la droite d'équation $2x-y+1=0$ ;
• $\mathrm{\Delta }$ la droite d'équation $2x-y-4=0$.

1°  Déterminez (s'il en existe) les réels $\lambda$ tels que la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ transforme $𝒟$ en $\mathrm{\Delta }$ lorsque $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées :

a)  $(\lambda ,2\lambda )$ ;

b)  $(\lambda ,-\lambda )$.

2°  Déterminez (s'il en existe) les réels $k\ne 0$ tels que l'homothétie de centre $I$ et de rapport $k$ transforme $𝒟$ en $\mathrm{\Delta }$ lorsque $I$ a pour coordonnées :

a)  $(2,5)$ ;

b)  $(1,-1)$.