Translation et homothétie/Exercices/Composition d'homothéties et de translations

Exercice 2-1

Soit $A$ et $B$ deux points d'un plan.

Dans chacun des cas suivants, donner la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g\circ f$.

1°  $f$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$.

$g$ est l'homothétie de centre $B$ et de rapport $\frac{1}{2}$.

2°  $f$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$.

$g$ est l'homothétie de centre $B$ et de rapport $-\frac{1}{2}$.

3°  $f$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$.

$g$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.

4°  $f$ est la translation de vecteur $2\overrightarrow{AB}$.

$g$ est l'homothétie de centre $B$ et de rapport $-3$.

Exercice 2-2

Soient :

• $A,B,C$ trois points d'un plan ;
• $f$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-2$ ;
• $g$ la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.

Donnez la nature des transformations $g\circ f$ et $f\circ g$ et construisez leurs centres. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Soient :

• $h$ une homothétie, de centre $A$ et de rapport $k$ ;
• $t$ une translation, de vecteur $\overrightarrow{u}$.

Montrer que dans le cas général, $t\circ h\ne h\circ t$. Dans quels cas a-t-on l'égalité ? Modèle:Solution On rappelle que $t\circ h$ et $h\circ t$ sont des homothéties de rapport $k$. En supposant $k\ne 1$, nous noterons :

• $I$ le centre de $t\circ h$ ;
• $J$ celui de $h\circ t$ ;
• $B$ l'image de $A$ par $t\circ h$.

Montrez que :

1. $\overrightarrow{IB}=k\overrightarrow{IA}$ ;
2. $B=t(A)$ ;
3. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ ;
4. $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{1-k}\overrightarrow{u}$ ;
5. $\overrightarrow{AJ}=\frac{k}{1-k}\overrightarrow{u}$.