Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Changement de référentiels

Modèle:Chapitre

Modèle:AlLes changements de référentiels sont utilisés en physique lors de l'étude du mouvement de points mais aussi
Modèle:Al Modèle:Transparentlors de l'utilisation de champ vectoriel dépendant implicitement du temps ainsi que
Modèle:Al Modèle:Transparentdans d'autres domaines comme celui de la S.I. ^[1], d'où
Modèle:Al Modèle:Transparentle classement de ce chapitre dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
Modèle:Al Modèle:Transparentd'autant plus que les démonstrations des propriétés ont un aspect fortement mathématique.

Position du problème

Modèle:AlSoit un 1^er référentiel d'espace $ℛ_{a}$ ^[2] appelé « référentiel absolu » et
Modèle:Al Modèle:Transparentun 2^ème référentiel d'espace $ℛ_{e}$ ^[2] en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement »,
Modèle:Al Modèle:Transparentnous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles $\vec{C} ()$ dépendant du temps $t$ selon $\vec{C} (t)$ .

Modèle:AlPréliminaire : le temps $t$ étant absolu ^[3], une grandeur scalaire $f ()$ , non spécifique d'un référentiel ^[4]Modèle:, ^[5] et
Modèle:Al Modèle:Transparentdépendant du temps $t$ selon $f (t)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparenta une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel car la définition n'en dépend pas, en effet
Modèle:Al Modèle:Transparentque ce soit dans $ℛ_{a}$ ou $ℛ_{e}$ , la dérivée temporelle se définit
Modèle:Al Modèle:Transparentselon $\frac{d f}{d t} (t) = \lim \limits_{δ t \to 0} \frac{f (t + δ t) - f (t)}{δ t}$ avec les valeurs
Modèle:Al Modèle:Transparent $f (t + δ t)$ et $f (t)$ indépendantes des référentiels ^[4]Modèle:, ^[5]
Modèle:Al Modèle:Transparentde même que $δ t \dots$ Par contre
Modèle:Al Modèle:Transparentune grandeur vectorielle $\vec{C} ()$ dépendant du temps $t$ selon $\vec{C} (t)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparenta une dérivée temporelle dépendant a priori du référentiel dans laquelle elle est effectuée comme sur l'exemple décrit ci-après :
Modèle:Al Modèle:Transparentsoit la grandeur « champ de pesanteur terrestre » $\vec{g} (M_{0})$ ^[6] noté plus simplement ${\vec{g}}_{0}$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparentconsidérons d'abord comme 1^er référentiel $ℛ_{a}$ la Terre et le repère cartésien lui étant lié avec le 3^ème vecteur de base vertical $↑$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentla dérivée temporelle de ${\vec{g}}_{0}$ y est nulle c.-à-d. ${[\frac{d {\vec{g}}_{0}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{0}$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparentconsidérons maintenant comme 2^ème référentiel $ℛ_{e}$ un référentiel tournant relativement à $ℛ_{a}$
Modèle:Al Modèle:Transparentà vitesse angulaire constante autour d'un axe horizontal
Modèle:Al Modèle:Transparentet le repère cartésien lié à $ℛ_{e}$ avec le 3^ème vecteur de base initialement vertical $↑$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentla dérivée temporelle de ${\vec{g}}_{0}$ n'y est plus nulle c.-à-d. ${[\frac{d {\vec{g}}_{0}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) \neq \vec{0}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentla composante sur le 3^ème vecteur de base cartésienne variant sinusoïdalement
Modèle:Al Modèle:Transparentavec une fréquence égale à la fréquence de rotation de $ℛ_{e}$ dans $ℛ_{a}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentune amplitude égale à $‖ {\vec{g}}_{0} ‖$ ^[7].

Modèle:AlNous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace sur la dérivée temporelle de grandeur vectorielle $\vec{C} (t)$
Modèle:Al Modèle:Transparentconnaissant le mouvement d'entraînement du référentiel d'entraînement $ℛ_{e}$ relativement au référentiel absolu $ℛ_{a}$
Modèle:Al Modèle:Transparenten restreignant cette étude aux entraînements de translation et de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels,
Modèle:Al Modèle:Transparentet en commençant par l'influence sur les vecteurs vitesses d'un point ainsi que les vecteurs accélérations du même point.

Cas d'un entraînement de translation

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de translation

Modèle:AlSoit un référentiel d'espace $ℛ_{a}$ ^[2] appelé « référentiel absolu » et
Modèle:Al Modèle:Transparentun autre référentiel d'espace $ℛ_{e}$ ^[2] en mouvement de translation relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement » ;
Modèle:Al Modèle:Transparentun entraînement de translation $\Rightarrow$ les propriétés suivantes :
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « les vecteurs de base cartésienne du repère lié à $ℛ_{e}$ identifiables aux vecteurs de base cartésienne du repère lié à $ℛ_{a}$ » car
Modèle:Al Modèle:Transparentle 1^er étant en translation par rapport au 2^nd, toute direction de $ℛ_{e}$ garde la même direction dans $ℛ_{a}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « dériver par rapport au temps une grandeur vectorielle $\vec{C} (t)$ dans $ℛ_{e}$ est équivalent à
Modèle:Al Modèle:Transparentdériver par rapport au temps cette même grandeur vectorielle $\vec{C} (t)$ dans $ℛ_{a}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentla raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien $($ avec utilisation de la 1^ère propriété $)$ mais
Modèle:Al Modèle:Transparentrestant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque :
Modèle:Al Modèle:Transparentnotant ${{\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y}, {\vec{u}}_{z}}$ la base cartésienne commune des repères liés à $ℛ_{e}$ et $ℛ_{a}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentle champ vectoriel $\vec{C} (t)$ a les mêmes composantes cartésiennes dans les deux repères associés aux deux référentiels soit
Modèle:Al Modèle:Transparent $\vec{C} (t) = C_{x} (t) {\vec{u}}_{x} + C_{y} (t) {\vec{u}}_{y} + C_{z} (t) {\vec{u}}_{z}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentsa dérivation par rapport à $t$ revient à dériver uniquement ses composantes cartésiennes,
Modèle:Al Modèle:Transparentles vecteurs de base cartésienne étant constants dans les deux repères $\dots$

Modèle:AlD'après ce qui précède il est donc inutile de préciser dans quel référentiel la dérivée temporelle est effectuée puisque celle-ci est invariante par changement de référentiel soit

{[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t)

la valeur commune étant simplement notée

\frac{d \vec{C}}{d t} (t)

.

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre

Modèle:AlNotant

O_{a}

l'origine du repère associé à

ℛ_{a}

et

O_{e}

celle du repère associé à

ℛ_{e}

, on obtient, par loi de Chasles ^[8], le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile

M

,

«

\vec{O_{a} M} (t) = \vec{O_{a} O_{e}} (t) + \vec{O_{e} M} (t)

» et,

Modèle:Alla dérivation temporelle, indépendante du repère dans lequel elle est effectuée, conduisant à

«

\frac{d \vec{O_{a} M}}{d t} (t) = \frac{d \vec{O_{a} O_{e}}}{d t} (t) + \frac{d \vec{O_{e} M}}{d t} (t)

»,

Modèle:Alon en déduit, avec les définitions des vecteurs vitesses dans

ℛ_{a}

de

M

et de

O_{e}

∙

«

{\vec{V}}_{M / ℛ_{a}} (t) = \frac{d \vec{O_{a} M}}{d t} (t)

vecteur vitesse absolue de

M

encore noté

{\vec{V}}_{a, M} (t)

»,
Modèle:Al Modèle:Transparent

∙

«

{\vec{V}}_{O_{e} / ℛ_{a}} (t) = \frac{d \vec{O_{a} O_{e}}}{d t} (t)

vecteur vitesse absolue de

O_{e}

encore noté

{\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)

», ainsi que
Modèle:Transparentcelle du vecteur vitesse dans

ℛ_{e}

de

M

, Modèle:Al

∙

«

{\vec{V}}_{M / ℛ_{e}} (t) = \frac{d \vec{O_{e} M}}{d t} (t)

vecteur vitesse relative de

M

encore noté

{\vec{V}}_{r, M} (t)

»,
Modèle:Al Modèle:Transparentla loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de translation

«

{\vec{V}}_{M / ℛ_{a}} (t) = {\vec{V}}_{O_{e} / ℛ_{a}} (t) + {\vec{V}}_{M / ℛ_{e}} (t)

» ou, noté plus simplement
«

{\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) + {\vec{V}}_{r, M} (t)

» ^[9]Modèle:, ^[10]Modèle:, ^[11].Modèle:Al

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre

Modèle:AlDérivant par rapport à

t

la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de translation «

{\vec{V}}_{M / ℛ_{a}} (t) = {\vec{V}}_{O_{e} / ℛ_{a}} (t) + {\vec{V}}_{M / ℛ_{e}} (t)

» ^[12] on obtient,
Modèle:Al Modèle:Transparentla dérivation temporelle étant indépendante du référentiel dans lequel on effectue la dérivation lorsque les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre,

«

\frac{d {\vec{V}}_{M / ℛ_{a}}}{d t} (t) = \frac{d {\vec{V}}_{O_{e} / ℛ_{a}}}{d t} (t) + \frac{d {\vec{V}}_{M / ℛ_{e}}}{d t} (t)

»,

Modèle:Alon en déduit, avec les définitions des vecteurs accélérations dans

ℛ_{a}

de

M

et de

O_{e}

∙

«

{\vec{a}}_{M / ℛ_{a}} (t) = \frac{d {\vec{V}}_{M / ℛ_{a}}}{d t} (t)

vecteur accélération absolue de

M

encore noté

{\vec{a}}_{a, M} (t)

»,
Modèle:Al Modèle:Transparent

∙

«

{\vec{a}}_{O_{e} / ℛ_{a}} (t) = \frac{d {\vec{V}}_{O_{e} / ℛ_{a}}}{d t} (t)

vecteur accélération absolue de

O_{e}

encore noté

{\vec{a}}_{a, O_{e}} (t)

», ainsi que
Modèle:Transparentcelle du vecteur accélération dans

ℛ_{e}

de

M

, Modèle:Al

∙

«

{\vec{a}}_{M / ℛ_{e}} (t) = \frac{d {\vec{V}}_{M / ℛ_{e}}}{d t} (t)

vecteur accélération relative de

M

encore noté

{\vec{a}}_{r, M} (t)

»,
Modèle:Al Modèle:Transparentla loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entrainement de translation

«

{\vec{a}}_{M / ℛ_{a}} (t) = {\vec{a}}_{O_{e} / ℛ_{a}} (t) + {\vec{a}}_{M / ℛ_{e}} (t)

» ou, noté plus simplement
«

{\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{a, O_{e}} (t) + {\vec{a}}_{r, M} (t)

» ^[13]Modèle:, ^[10]Modèle:, ^[14].Modèle:Al

Cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

Modèle:AlSoit le référentiel $ℛ_{e}$ ^[2] en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel $ℛ_{a}$ ^[2],
Modèle:Al Modèle:Transparentles vecteurs de base cartésienne des repères liés à $ℛ_{e}$ et à $ℛ_{a}$ ne peuvent pas être identifiés en effet, dans $ℛ_{a}$ , les 1^ers tournent relativement aux 2^nds lesquels y sont fixes $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« les dérivées temporelles d'une grandeur vectorielle $\vec{C} (t)$ dans $ℛ_{e}$ et dans $ℛ_{a}$ $\neq$ » ^[15],
Modèle:Al Modèle:Transparentla raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien mais
Modèle:Al Modèle:Transparentrestant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque :
Modèle:Al Modèle:Transparentnotant ${{\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y}, {\vec{u}}_{z}}$ la base cartésienne du repère lié à $ℛ_{e}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentdécomposant le champ vectoriel $\vec{C} (t)$ dans cette base liée à $ℛ_{e}$ soit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\vec{C} (t) = C_{x} (t) {\vec{u}}_{x} + C_{y} (t) {\vec{u}}_{y} + C_{z} (t) {\vec{u}}_{z}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentdans $ℛ_{e}$ la dérivation par rapport à $t$ n'agit que sur les composantes cartésiennes,
Modèle:Al Modèle:Transparent $|$ les vecteurs de base cartésienne y étant constants $]$ soit
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) = \frac{d C_{x}}{d t} (t) {\vec{u}}_{x} + \frac{d C_{y}}{d t} (t) {\vec{u}}_{y} + \frac{d C_{z}}{d t} (t) {\vec{u}}_{z}$ » alors que
Modèle:Al Modèle:Transparentdans $ℛ_{a}$ la dérivation par rapport à $t$ agit sur les composantes cartésiennes mais aussi
Modèle:Al Modèle:Transparentsur les vecteurs de base du repère lié à $ℛ_{e}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ non constants dans $ℛ_{a}]$ soit
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \frac{d C_{x}}{d t} (t) {\vec{u}}_{x} + \frac{d C_{y}}{d t} (t) {\vec{u}}_{y} + \frac{d C_{z}}{d t} (t) {\vec{u}}_{z} + \dots$
Modèle:Al Modèle:Transparent $C_{x} (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + C_{y} (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + \dots$
Modèle:Al Modèle:Transparent $C_{z} (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » d'où
Modèle:Al Modèle:Transparentl'affirmation « ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) \neq {[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ ».

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Établissement de la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu et en utilisant (partiellement) la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Modèle:AlLe référentiel d'entraînement $ℛ_{e}$ est en rotation autour d'un axe $Δ$ fixe du référentiel absolu $ℛ_{a}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentavec $\vec{Ω}$ pour vecteur rotation instantanée $[$ le plus souvent constant ^[16] mais
Modèle:Al Modèle:Transparentpouvant, a priori, dépendre de $t]$ ;

Modèle:Alpour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3^ème vecteur ${\vec{u}}_{z_{a}}$ de la base cartésienne du repère lié au référentiel absolu $ℛ_{a}$
Modèle:Al Modèle:Transparentporté par l'axe $Δ$ ainsi que
Modèle:Al Modèle:Transparentle 3^ème vecteur ${\vec{u}}_{z}$ de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $ℛ_{e}$
Modèle:Al Modèle:Transparentégal au précédent à savoir « ${\vec{u}}_{z} = {\vec{u}}_{z_{a}}$ » ^[17] ;

Modèle:Alnotant

O_{a}

l'origine du repère associé à

ℛ_{a}

et
Modèle:Al Modèle:Transparent

O_{e}

celle du repère associé à

ℛ_{e}

,
Modèle:Al Modèle:Transparenton obtient, par loi de Chasles ^[8], le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile

M

,

«

\vec{O_{a} M} (t) = \vec{O_{a} O_{e}} (t) + \vec{O_{e} M} (t)

» et,

Modèle:Alla dérivation temporelle dans le repère lié à

ℛ_{a}

définissant dans le membre de gauche le vecteur vitesse absolue du point

M

\Rightarrow

«

{\vec{V}}_{a, M} (t) = {[\frac{d \vec{O_{a} M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{O_{a} O_{e}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + {[\frac{d \vec{O_{e} M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) (𝔟)

»,

Modèle:Al« le 1^er vecteur du membre de droite étant le vecteur vitesse absolue de l'origine

O_{e}

du repère lié au référentiel d'entraînement soit

{\vec{V}}_{O_{e} / ℛ_{a}} (t)

encore noté

{\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)

», il reste à analyser
Modèle:Al« le 2^ème vecteur

{[\frac{d \vec{O_{e} M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)

» ^[18] et pour cela nous décomposons le vecteur position du point

M

défini dans le référentiel d'entraînement

ℛ_{e}

sur la base cartésienne de ce dernier soit
Modèle:Al Modèle:Transparent«

\vec{O_{e} M} (t) = x (t) {\vec{u}}_{x} + y (t) {\vec{u}}_{y} + z (t) {\vec{u}}_{z}

» puis
Modèle:Al Modèle:Transparentnous effectuons la dérivation temporelle dans le référentiel absolu

ℛ_{a}

et
Modèle:Al Modèle:Transparentnous obtenons «

{[\frac{d \vec{O_{e} M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \dot{x} (t) {\vec{u}}_{x} + \dot{y} (t) {\vec{u}}_{y} + \dot{z} (t) {\vec{u}}_{z} + x (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + y (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + z (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)

» ;
Modèle:Al Modèle:Transparentnous y reconnaissons

∙

dans les trois 1^ers termes du 2^ème membre le vecteur vitesse relative du point

M

[

les vecteurs de base du repère lié à

ℛ_{e}

Modèle:Al Modèle:Transparenty étant supposés constants

]

, c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparent«

\dot{x} (t) {\vec{u}}_{x} + \dot{y} (t) {\vec{u}}_{y} + \dot{z} (t) {\vec{u}}_{z} = {[\frac{d \vec{O_{e} M}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) = {\vec{V}}_{M / ℛ_{e}} (t)

encore noté
Modèle:Al Modèle:Transparent

{\vec{V}}_{r, M} (t)

» et,
Modèle:Al Modèle:Transparent

∙

dans les trois derniers termes du 2^ème membre la dérivée temporelle du vecteur

\vec{O_{e} M_{c, t}} (t)

effectuée dans

ℛ_{a}

avec
Modèle:Al Modèle:Transparent

M_{c, t}

le point coïncident ^[10] de

M

à la date

t

[

les composantes de

\vec{O_{e} M}

Modèle:Al Modèle:Transparentdans la base cartésienne du
Modèle:Al Modèle:Transparentrepère lié à

ℛ_{e}

y étant
Modèle:Al Modèle:Transparentsupposées constantes

]

\Rightarrow

Modèle:Al Modèle:Transparent«

x (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + y (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + z (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) =

Modèle:Al Modèle:Transparent

{[\frac{d \vec{O_{e} M_{c, t}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{O_{a} M_{c, t}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) - {[\frac{d \vec{O_{a} O_{e}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) =

Modèle:Al Modèle:Transparent

{\vec{V}}_{M_{c, t} / ℛ_{a}} (t) - {\vec{V}}_{O_{e} / ℛ_{a}} (t)

encore noté

{\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t) - {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)

» ;

Modèle:Alfinalement la relation $(𝔟)$ se réécrit « ${\vec{V}}_{M / ℛ_{a}} (t) = {\vec{V}}_{O_{e} / ℛ_{a}} (t) + {\vec{V}}_{M / ℛ_{e}} (t) + [{\vec{V}}_{M_{c, t} / ℛ_{a}} (t) - {\vec{V}}_{O_{e} / ℛ_{a}} (t)] = {\vec{V}}_{M / ℛ_{e}} (t) + {\vec{V}}_{M_{c, t} / ℛ_{a}} (t)$ » soit,

Modèle:Al Modèle:Transparent« la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de rotation ${\vec{V}}_{M / ℛ_{a}} (t) = {\vec{V}}_{M / ℛ_{e}} (t) + {\vec{V}}_{M_{c, t} / ℛ_{a}} (t)$ » ou noté plus simplement
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{r, M} (t) + {\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t)$ » ^[19]Modèle:, ^[20] ;

Modèle:Al Modèle:Transparent $ℛ_{e}$ étant en rotation autour de l'axe $Δ$ fixe dans $ℛ_{a}$ , le mouvement absolu de $M_{c, t}$ est un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée $\vec{Ω}$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentle vecteur vitesse absolue de $M_{c, t_{0}}$ a pour expression intrinsèque ^[21] « ${\vec{V}}_{a, M_{c, t_{0}}} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{A M_{c, t_{0}}} (t)$ , avec
Modèle:Al Modèle:Transparent $A$ point fixe quelconque de l'axe $Δ$ » d'où

Modèle:Al Modèle:Transparentle vecteur vitesse d'entraînement du point $M$ ^[20] s'écrivant « ${\vec{V}}_{e, M} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)$ » ^[22],

Modèle:Al Modèle:Transparent« la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation » se réécrit selon « ${\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{r, M} (t) + {\vec{V}}_{e, M} (t)$ avec ${\vec{V}}_{e, M} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)$ ».

Détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Modèle:AlOn peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation
Modèle:Al Modèle:Transparentpour déterminer la dérivée temporelle de chaque vecteur de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $ℛ_{e}$
Modèle:Al Modèle:Transparentdans le référentiel absolu $ℛ_{a}$ à savoir « ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ , ${[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ ou ${[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » et pour cela
Modèle:Al Modèle:Transparenton définit un « point $I$ fixe de $ℛ_{e}$ par $\vec{O_{e} I} = {\vec{u}}_{x}$ » que l'on dérive par rapport à $t$ dans le référentiel absolu $ℛ_{a}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{O_{e} I}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{O_{a} I}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) - {[\frac{d \vec{O_{a} O_{e}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ ^[23], soit encore
Modèle:Al Modèle:Transparent $= {\vec{V}}_{a, I} (t) - {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) = {\vec{V}}_{e, I} (t) - {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t)$ ^[24] et finalement
Modèle:Al Modèle:Transparentavec l'expression de leurs vecteurs vitesses d'entraînement ${\begin{matrix} {\vec{V}}_{e, I} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{A I} \\ {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{A O_{e}} \end{matrix}}$ ^[21]
Modèle:Al Modèle:Transparent $= \vec{Ω} (t) \land \vec{A I} - \vec{Ω} (t) \land \vec{A O_{e}} = \vec{Ω} (t) \land [\vec{A I} - \vec{A O_{e}}]$ par factorisation vectorielle à gauche par $\vec{Ω} (t)$ ^[25]
Modèle:Al Modèle:Transparent $= \vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} I}$ ^[26] $= \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{x}$ » par définition du point $I$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparentfinalement on retient « ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{x}$ », de même $($ la démonstration étant la même $)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{y}$ » ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{z}$ » ^[27].

Modèle:AlRemarque : il est aussi possible de déterminer « ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ , ${[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ ou ${[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation ^[28] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentcet établissement est facilité avec le choix de ${\vec{u}}_{z} = {\vec{u}}_{z_{a}}$ ^[29] portés par l'axe $Δ$ de rotation $($ voir figure plus haut de ce chapitre $)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentchoix plaçant les deux 1^ers vecteurs de base cartésienne $({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y})$ du repère lié à $ℛ_{e}$
Modèle:Al Modèle:Transparentdans un même plan $⊥$ à ${\vec{u}}_{z} = {\vec{u}}_{z_{a}}$ que les deux 1^ers vecteurs de base cartésienne $({\vec{u}}_{x_{a}}, {\vec{u}}_{y_{a}})$ du repère lié à $ℛ_{a}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentce qui permet de définir l'angle instantané de rotation de $ℛ_{e}$ relativement à $ℛ_{a}$ « $θ (t) = \hat{({\vec{u}}_{x_{a}}, {\vec{u}}_{x})} (t) = \hat{({\vec{u}}_{y_{a}}, {\vec{u}}_{y})} (t)$ » et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentle vecteur rotation instantanée de $ℛ_{e}$ par rapport à $ℛ_{a}$ « $\vec{Ω} (t) = \dot{θ} (t) {\vec{u}}_{z_{a}}$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparenton peut alors en déduire « ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \frac{d {\vec{u}}_{x}}{d θ} (θ) \times \frac{d θ}{d t} (t)$ » dans lequel on peut affirmer « $\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d θ} (θ) = {\vec{u}}_{y}$ » ^[30] d'où « ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \dot{θ} (t) {\vec{u}}_{y}$ » soit enfin, comme « ${\vec{u}}_{z} \land {\vec{u}}_{x} = {\vec{u}}_{y}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentla réécriture de la dérivée cherchée selon « ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \dot{θ} (t) {\vec{u}}_{z} \land {\vec{u}}_{x} = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{x}$ » C.Q.F.D. ^[31] ;
Modèle:Al Modèle:Transparenton peut aussi écrire « ${[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \frac{d {\vec{u}}_{y}}{d θ} (θ) \times \frac{d θ}{d t} (t)$ » dans lequel on peut affirmer « $\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d θ} (θ) = - {\vec{u}}_{x}$ ^[30] d'où ${[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = - \dot{θ} (t) {\vec{u}}_{x}$ » soit enfin, comme « ${\vec{u}}_{z} \land {\vec{u}}_{y} = - {\vec{u}}_{x}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentla réécriture de la dérivée cherchée selon « ${[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \dot{θ} (t) {\vec{u}}_{z} \land {\vec{u}}_{y} = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{y}$ » C.Q.F.D. ^[31].

Autre façon d'établir la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu par utilisation exclusive de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Modèle:AlSupposant l'évaluation directe des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu $ℛ_{a}$ , des vecteurs de base cartésienne $({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y}, {\vec{u}}_{z})$ du repère lié au référentiel d'entraînement $ℛ_{e}$
Modèle:Al Modèle:Transparentvoir le paragraphe « détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement
Modèle:Al Modèle:Transparent(remarque) » plus haut dans ce chapitre $($ c.-à-d. sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation $)$ à savoir
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{x}$ , ${[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{y}$ et ${[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{z}$ » ^[27] ;

Modèle:Alavec $O_{a}$ l'origine du repère associé à $ℛ_{a}$ et $O_{e}$ celle du repère associé à $ℛ_{e}$ , on a obtenu, par loi de Chasles ^[8], le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile $M$ , à savoir
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\vec{O_{a} M} (t) = \vec{O_{a} O_{e}} (t) + \vec{O_{e} M} (t)$ » ^[32] et,
Modèle:Al Modèle:Transparentaprès avoir effectué la dérivation temporelle dans le repère lié au référentiel absolu $ℛ_{a}$
Modèle:Al Modèle:Transparentpour définir, dans le membre de gauche, le vecteur vitesse absolue ${\vec{V}}_{a, M} (t)$ du point $M$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${[\frac{d \vec{O_{a} M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{O_{a} O_{e}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + {[\frac{d \vec{O_{e} M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ ^[32] soit encore
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) + {[\frac{d \vec{O_{e} M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » ;

Modèle:Aldécomposant le vecteur position du point $M$ défini dans le référentiel d'entraînement $ℛ_{e}$ sur la base cartésienne de ce dernier soit « $\vec{O_{e} M} (t) =$ $x (t) {\vec{u}}_{x} + y (t) {\vec{u}}_{y} + z (t) {\vec{u}}_{z}$ » puis
Modèle:Aleffectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $ℛ_{a}$ , nous obtenons « ${[\frac{d \vec{O_{e} M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \dot{x} (t) {\vec{u}}_{x} + \dot{y} (t) {\vec{u}}_{y} + \dot{z} (t) {\vec{u}}_{z} + x (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + y (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + z (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ dans les trois 1^ers termes du 2^ème membre le vecteur vitesse relative du point $M$ , c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\dot{x} (t) {\vec{u}}_{x} + \dot{y} (t) {\vec{u}}_{y} + \dot{z} (t) {\vec{u}}_{z} = {\vec{V}}_{r, M} (t)$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ dans les trois derniers termes du 2^ème membre les expressions des dérivées temporelles de $({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y}, {\vec{u}}_{z})$ , vecteurs de
Modèle:Al Modèle:Transparentbase cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $ℛ_{e}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentdérivation effectuée dans le référentiel absolu $ℛ_{a}$ , c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparent ${\begin{matrix} {[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{x} \\ {[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{y} \\ {[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{z} \end{matrix}}$ ^[33] $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« $x (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + y (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + z (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) =$
Modèle:Al Modèle:Transparent $x (t) [\vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{x}] + y (t) [\vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{y}] + z (t) [\vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{z}] =$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\vec{Ω} (t) \land [x (t) {\vec{u}}_{x} + y (t) {\vec{u}}_{y} + z (t) {\vec{u}}_{z}]$ » en factorisant vectoriellement
Modèle:Al Modèle:Transparentà gauche par $\vec{Ω} (t)$ ^[25] soit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $x (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + y (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + z (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} M} (t)$ » soit
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « ${[\frac{d \vec{O_{e} M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {\vec{V}}_{r, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} M} (t)$ » ;

Modèle:Alfinalement, en ajoutant

{\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)

à

{[\frac{d \vec{O_{e} M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)

pour obtenir le vecteur vitesse absolue

{\vec{V}}_{a, M} (t)

du point

M

soit «

{\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) + {\vec{V}}_{r, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} M} (t)

» dans lequel
Modèle:Al Modèle:Transparentle vecteur vitesse absolue

{\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)

du point

O_{e}

correspondant à un mouvement circulaire d'axe

Δ

, de vecteur rotation instantanée

\vec{Ω} (t)

, s'écrit «

{\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{A O_{e}} (t)

» ^[21] d'où
Modèle:Al Modèle:Transparentla réécriture du vecteur vitesse absolue

{\vec{V}}_{a, M} (t)

du point

M

«

{\vec{V}}_{a, M} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{A O_{e}} (t) + {\vec{V}}_{r, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} M} (t) = {\vec{V}}_{r, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{A O_{e}} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} M} (t)

Modèle:Al Modèle:Transparent

= {\vec{V}}_{r, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land [\vec{A O_{e}} (t) + \vec{O_{e} M} (t)]

» en factorisant vectoriellement à gauche par

\vec{Ω} (t)

^[25] ou encore,
Modèle:Al Modèle:Transparent«

{\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{r, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)

» par utilisation de la relation de Chasles ^[8] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentreconnaissant dans «

\vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)

le vecteur vitesse d'entraînement

{\vec{V}}_{e, M} (t)

du point

M

», nous retrouvons

la loi de composition des vecteurs vitesses «

{\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{r, M} (t) + {\vec{V}}_{e, M} (t)

lors d'un entraînement de rotation avec

{\vec{V}}_{e, M} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)

».

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Établissement intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Modèle:AlLa méthode la plus rapide pour établir la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation
Modèle:Al Modèle:Transparentconsiste à dériver temporellement, dans le référentiel absolu, la loi de composition des vecteurs vitesses lors du même entraînement
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{r, M} (t) + {\vec{V}}_{e, M} (t)$ avec ${\vec{V}}_{e, M} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $A$ étant un point fixe quelconque de l'axe $Δ$ de rotation ;
Modèle:Al Modèle:Transparentdérivant temporellement dans $ℛ_{a}$ ^[34] on obtient « ${[\frac{d {\vec{V}}_{a, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d {\vec{V}}_{r, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + {[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » dans laquelle
Modèle:Al Modèle:Transparent« le 1^er membre est le vecteur accélération absolue ${\vec{a}}_{a, M} (t)$ du point $M$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparentaucun des termes du 2^ème membre ne peut être défini sans transformation au préalable, on les étudie séparément : Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ pour transformer « ${[\frac{d {\vec{V}}_{r, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » on pose $\vec{O_{e} P} (t) = {\vec{V}}_{r, M} (t)$ ^[35] $\Rightarrow$ « ${[\frac{d {\vec{V}}_{r, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{O_{e} P}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » ou encore,
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{V}}_{r, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{O_{a} P}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) - {[\frac{d \vec{O_{a} O_{e}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » ^[23] soit
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{V}}_{r, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {\vec{V}}_{a, P} (t) - {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)$ » ^[36] ensuite,
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{V}}_{r, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = [{\vec{V}}_{r, P} (t) + {\vec{V}}_{e, P}] - {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t)$ » ^[37] enfin,
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{V}}_{r, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {\vec{V}}_{r, P} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{A P} (t) - \vec{Ω} (t) \land \vec{A O_{e}} (t)$ » ^[38] et
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{V}}_{r, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {\vec{V}}_{r, P} (t) + \vec{Ω} (t) \land [\vec{A P} (t) - \vec{A O_{e}} (t)]$ » en factorisant vectoriellement
Modèle:Al Modèle:Transparentà gauche par $\vec{Ω} (t)$ ^[25] ou,
Modèle:Al Modèle:Transparent $= {[\frac{d \vec{O_{e} P}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} P} (t)$ ^[39] soit,
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{V}}_{r, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d {\vec{V}}_{r, M}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t)$ » avec la définition de $P$ ou,
Modèle:Al Modèle:Transparentle 1^er terme du 2^ème membre étant le vecteur accélération relative du point $M$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{V}}_{r, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {\vec{a}}_{r, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t)$ » ;

Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ pour transformer « ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » on explicite ${\vec{V}}_{e, M} (t)$ selon $\vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)$ ^[38] avant de le dériver temporellement dans $ℛ_{a}$ d'où, par dérivation d'un produit vectoriel,
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M} (t) + \vec{Ω} (t) \land {[\frac{d \vec{A M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{a, M} (t)$ » ^[40] ou encore,
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M} (t) + \vec{Ω} (t) \land [{\vec{V}}_{e, M} (t) + {\vec{V}}_{r, M} (t)]$ » par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses soit,
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{e, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t)$ » par distributivité de la multiplication vectorielle
Modèle:Al Modèle:Transparentrelativement à l'addition vectorielle ^[41] ou encore,
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M} (t) + \vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)] + \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t)$ » utilisant, dans le 2^ème terme, l'expression du
Modèle:Al Modèle:Transparentvecteur vitesse d'entraînement du point $M$ ^[38] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentl'ensemble des deux 1^ers termes du 2^ème membre « ${[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M} (t) + \vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)]$ » ne dépendant que de la position de $M$ ^[42] et
Modèle:Al Modèle:Transparentnon de son mouvement relatif dans $ℛ_{e}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentpeut être assimilé au « vecteur accélération d'entraînement ${\vec{a}}_{e, M} (t)$ du point $M$ à l'instant $t$ » ^[43] lequel
Modèle:Al Modèle:Transparenta pour valeur le vecteur accélération absolue ${\vec{a}}_{a, M_{c, t}} (t)$ du point $M_{c, t}$ coïncident
Modèle:Al Modèle:Transparentde $M$ à l'instant $t$ ^[10] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentor le mouvement absolu du point coïncident $M_{c, t}$ étant un mouvement circulaire d'axe $Δ$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentde vecteur rotation instantanée $\vec{Ω} (t)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentson vecteur accélération absolue ${\vec{a}}_{a, M_{c, t}} (t)$ est donné par son expression intrinsèque
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{a}}_{a, M_{c, t}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M_{c, t}} (t) - {\vec{Ω}}^{2} (t) \vec{C_{M_{c, t}} M_{c, t}} (t)$ ^[44]
Modèle:Al Modèle:Transparentavec $C_{M_{c, t}}$ le projeté de $M_{c, t}$ sur $Δ$ ^[45] » ; on vérifie aisément que
Modèle:Transparentcet ensemble des deux termes « ${[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M} (t) + \vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)] = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M} (t) - {\vec{Ω}}^{2} (t) \vec{C_{M} M} (t)$ ^[42] prenant pour valeur
Modèle:Transparent ${[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M_{c, t}} (t) - {\vec{Ω}}^{2} (t) \vec{C_{M_{c, t}} M_{c, t}} (t) = {\vec{a}}_{a, M_{c, t}} (t)$ » s'identifie au « vecteur accélération d'entraînement ${\vec{a}}_{e, M} (t)$
Modèle:Al Modèle:Transparentdu point $M$ » ; finalement
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {\vec{a}}_{e, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t)$ » ^[46] ;

Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ ajoutant les deux transformations de « ${[\frac{d {\vec{V}}_{r, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » et de « ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » pour obtenir « ${[\frac{d {\vec{V}}_{a, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {\vec{a}}_{a, M} (t)$ » on aboutit à
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{a}}_{a, M} (t) = [{\vec{a}}_{r, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t)] + [{\vec{a}}_{e, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t)] = {\vec{a}}_{r, M} (t) + {\vec{a}}_{e, M} (t) + 2 \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t)$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent« ce dernier vecteur accélération $2 \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t)$ » étant appelé « vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis ^[47] du point $M$ » et étant « noté ${\vec{a}}_{c, M} (t)$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentc'est une composante spécifique d'un entraînement de rotation de $ℛ_{e}$ autour d'un axe fixe de $ℛ_{a}$ .

Modèle:AlConclusion : la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation se réécrit donc sous la forme

«

{\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{r, M} (t) + {\vec{a}}_{e, M} (t) + {\vec{a}}_{c, M} (t)

» avec
«

{\vec{a}}_{e, M} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M} (t) - {\vec{Ω}}^{2} (t) \vec{C_{M} M} (t)

» ^[48] le vecteur accélération d'entraînement de

M

dans lequel «

C_{M}

est le projeté de

M

sur

Δ

,

A

étant un point quelconque de

Δ

» et
«

{\vec{a}}_{c, M} (t) = 2 \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t)

» le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis ^[47] du point

M

.

Établissement non intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu, en utilisant la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Modèle:AlSi cette méthode non intrinsèque n'est pas la plus rapide, elle est néanmoins intéressante par le fait qu'elle n'est sujette à aucune embûche majeure ^[49] $\dots$

Modèle:AlPartant de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation «

{\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{r, M} (t) + {\vec{V}}_{e, M} (t)

» avec «

{\vec{V}}_{e, M} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)

» ^[38] ou,
Modèle:Alpar utilisation de la relation de Chasles ^[8] et
Modèle:Al Modèle:Transparentde la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle ^[41] «

{\vec{V}}_{e, M} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} M} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{A O_{e}} (t)

» soit encore,
Modèle:Alen reconnaissant dans le dernier terme du 2^nd membre

\vec{Ω} (t) \land \vec{A O_{e}} (t)

l'expression intrinsèque du vecteur vitesse absolue

{\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)

de

O_{e}

^[50]

\Rightarrow

«

{\vec{V}}_{e, M} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} M} (t) + {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)

» d'où
Modèle:Alla réécriture de la loi de composition des vecteurs vitesses sous une forme ne faisant intervenir que le vecteur position relative

\vec{O_{e} M} (t)

du point

M

et
Modèle:Al Modèle:Transparentsa dérivée temporelle

{\vec{V}}_{r, M} (t) = {[\frac{d \vec{O_{e} M}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t)

effectuée dans

ℛ_{e}

Modèle:Al Modèle:Transparentà l'exception des grandeurs ne dépendant pas de

M

c.-à-d.

{\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)

et

\vec{Ω} (t)

soit

«

{\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) + {[\frac{d \vec{O_{e} M}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} M} (t)

» ;

Modèle:Alintroduisant les vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

ℛ_{e}

, vecteurs notés

{\begin{matrix} {\vec{u}}_{x} = {\vec{u}}_{1} \\ {\vec{u}}_{y} = {\vec{u}}_{2} \\ {\vec{u}}_{z} = {\vec{u}}_{3} \end{matrix}}

^[51] ainsi que
Modèle:Al Modèle:Transparentles composantes du vecteur position relative du point

M

notées

{\begin{matrix} x (t) = x_{1} (t) \\ y (t) = x_{2} (t () \\ z (t) = x_{3} (t) \end{matrix}}

^[51], le vecteur vitesse absolue du point

M

se réécrit

«

{\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) + \sum_{i = 1 . . 3} {\dot{x}}_{i} (t) {\vec{u}}_{i} + \vec{Ω} (t) \land [\sum_{i = 1 . . 3} x_{i} (t) {\vec{u}}_{i}]

» ;

Modèle:Aleffectuant la dérivation temporelle de la relation ci-dessus dans le référentiel absolu

ℛ_{a}

, nous obtenons

«

{\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{a, O_{e}} (t) + \sum_{i = 1 . . 3} {\ddot{x}}_{i} (t) {\vec{u}}_{i} + \sum_{i = 1 . . 3} {\dot{x}}_{i} (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{i}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) + \frac{d \vec{Ω}}{d t} (t) \land [\sum_{i = 1 . . 3} x_{i} (t) {\vec{u}}_{i}] + \vec{Ω} (t) \land [\sum_{i = 1 . . 3} {\dot{x}}_{i} (t) {\vec{u}}_{i}] + \vec{Ω} (t) \land {\sum_{i = 1 . . 3} x_{i} (t) {[\frac{d {\vec{u}}_{i}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)}

» soit,

Modèle:Al Modèle:Transparenten reportant «

{[\frac{d {\vec{u}}_{i}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{i}

» ^[33], la réécriture du vecteur accélération absolue du point

M

selon

«

{\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{a, O_{e}} (t) + \sum_{i = 1 . . 3} {\ddot{x}}_{i} (t) {\vec{u}}_{i} + \sum_{i = 1 . . 3} {\dot{x}}_{i} (t) [\vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{i}] + \frac{d \vec{Ω}}{d t} (t) \land [\sum_{i = 1 . . 3} x_{i} (t) {\vec{u}}_{i}] + \vec{Ω} (t) \land [\sum_{i = 1 . . 3} {\dot{x}}_{i} (t) {\vec{u}}_{i}] + \vec{Ω} (t) \land {\sum_{i = 1 . . 3} x_{i} (t) [\vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{i}]}

» ou,

Modèle:Al Modèle:Transparentgrâce à la factorisation vectorielle à gauche par

\vec{Ω} (t)

^[25] dans le 2^ème terme et le facteur entre accolades du 5^ème terme,

«

{\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{a, O_{e}} (t) + \sum_{i = 1 . . 3} {\ddot{x}}_{i} (t) {\vec{u}}_{i} + \vec{Ω} (t) \land [\sum_{i = 1 . . 3} {\dot{x}}_{i} (t) {\vec{u}}_{i}] + \frac{d \vec{Ω}}{d t} (t) \land [\sum_{i = 1 . . 3} x_{i} (t) {\vec{u}}_{i}] + \vec{Ω} (t) \land [\sum_{i = 1 . . 3} {\dot{x}}_{i} (t) {\vec{u}}_{i}] + \vec{Ω} (t) \land {\vec{Ω} (t) \land [\sum_{i = 1 . . 3} x_{i} (t) {\vec{u}}_{i}]}

» et,

Modèle:Al Modèle:Transparenten reconnaissant les grandeurs relatives suivantes «

{\begin{matrix} \sum_{i = 1 . . 3} {\ddot{x}}_{i} (t) {\vec{u}}_{i} = {\vec{a}}_{r, M} (t) \\ \sum_{i = 1 . . 3} {\dot{x}}_{i} (t) {\vec{u}}_{i} = {\vec{V}}_{r, M} (t) \\ \sum_{i = 1 . . 3} x_{i} (t) {\vec{u}}_{i} = \vec{O_{e} M} (t) \end{matrix}}

»,

«

{\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{a, O_{e}} (t) + {\vec{a}}_{r, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t) + \frac{d \vec{Ω}}{d t} (t) \land \vec{O_{e} M} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} M} (t)]

» soit encore,

Modèle:Al Modèle:Transparent

O_{e}

ayant, dans

ℛ_{a}

, un mouvement circulaire autour de

Δ

, de vecteur rotation instantanée

\vec{Ω} (t)

, «

{\vec{a}}_{a, O_{e}} (t) = \frac{d \vec{Ω}}{d t} (t) \land \vec{A O_{e}} (t) + \vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A O_{e}} (t)]

» ^[52],
Modèle:Al Modèle:Transparentla réécriture du vecteur accélération absolue

{\vec{a}}_{a, M} (t)

du point

M

en regroupant les termes identiques ou semblables

«

{\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{r, M} (t) + 2 \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t) + {\frac{d \vec{Ω}}{d t} (t) \land \vec{A O_{e}} (t) + \frac{d \vec{Ω}}{d t} (t) \land \vec{O_{e} M} (t)} + {\vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A O_{e}} (t)] + \vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} M} (t)]}

» soit finalement,

Modèle:Al Modèle:Transparenten factorisant vectoriellement à gauche par

\frac{d \vec{Ω}}{d t} (t)

^[25] dans la 1^ère expression entre accolades du 2^nd membre suivi de l'utilisation de la relation de Chasles ^[8] et
Modèle:Al Modèle:Transparentdoublement par

\vec{Ω} (t)

dans la 2^ème expression entre accolades du 2^nd membre suivi de l'utilisation de la relation de Chasles ^[8]

«

{\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{r, M} (t) + 2 \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t) + \frac{d \vec{Ω}}{d t} (t) \land \vec{A M} (t) + \vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)]

» ^[53]

\Rightarrow

«

{\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{r, M} (t) + 2 \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t) + \frac{d \vec{Ω}}{d t} (t) \land \vec{A M} (t) - {\vec{Ω}}^{2} (t) \vec{C_{M} M} (t)

» dans laquelleModèle:Al
l'ensemble des deux derniers termes s'identifie au vecteur accélération d'entraînement

{\vec{a}}_{e, M} (t)

du point

M

» soit
«

\frac{d \vec{Ω}}{d t} (t) \land \vec{A M} (t) + \vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)] = \frac{d \vec{Ω}}{d t} (t) \land \vec{A M} (t) - {\vec{Ω}}^{2} (t) \vec{C_{M} M} (t) = {\vec{a}}_{e, M} (t)

;

Modèle:Al Modèle:Transparentfinalement on obtient pour « loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation »

«

{\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{r, M} (t) + {\vec{a}}_{C, M} (t) + {\vec{a}}_{e, M} (t)

» avec
le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis ^[47] du point

M

égal à «

{\vec{a}}_{c, M} (t) = 2 \vec{Ω} (t) \land {\vec{V}}_{r, M} (t)

» et
le vecteur accélération d'entraînement du point

M

égal à «

{\vec{a}}_{e, M} (t) = \frac{d \vec{Ω}}{d t} (t) \land \vec{A M} (t) - {\vec{Ω}}^{2} (t) \vec{C_{M} M} (t)

» dans lequel

A

est un point fixe de

Δ

et

C_{M}

le projeté orthogonal de

M

sur l'axe

Δ

.

Cas particulier très fréquent : entraînement de rotation uniforme du référentiel d'entraînement autour d'un axe fixe du référentiel absolu

Modèle:AlDans le cas $($ très fréquent $)$ où la rotation d'entraînement est uniforme c.-à-d. telle que le vecteur rotation instantanée est un vecteur constant noté ${\vec{Ω}}_{0}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent« la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation uniforme » se réécrit sous la forme « ${\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{r, M} (t) + {\vec{a}}_{e, M} (t) + {\vec{a}}_{C, M} (t)$ » avec
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{a}}_{e, M} (t) = - {\vec{Ω}}_{0}^{2} \vec{C_{M} M} (t)$ le vecteur accélération d'entraînement de $M$ » où $C_{M}$ est le projeté de $M$ sur $Δ$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{a}}_{C, M} (t) = 2 {\vec{Ω}}_{0} \land {\vec{V}}_{r, M} (t)$ le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis ^[47] du point $M$ ».

Changement de référentiel de définition de la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle, formule de Bour

Position du problème

Modèle:AlConsidérant un 1^er référentiel d'espace $ℛ_{a}$ ^[2] appelé « référentiel absolu » et
Modèle:Al Modèle:Transparentun 2^ème référentiel d'espace $ℛ_{e}$ ^[2] en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement »,
Modèle:Alnous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles $\vec{C} ()$ dépendant du temps $t$ selon $\vec{C} (t)$ , c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparentde trouver le lien existant entre la dérivée temporelle de $\vec{C} (t)$ effectuée dans $ℛ_{a}$ « ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle effectuée dans $ℛ_{e}$ « ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t)$ » connaissant le mouvement d'entraînement de $ℛ_{e}$ dans $ℛ_{a}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ toutefois nous nous limiterons, dans l'exposé, au cas où cet entraînement est une rotation autour d'un axe $Δ$ fixe dans les deux référentiels
Modèle:Al Modèle:Transparentavec le vecteur rotation instantanée ${\vec{Ω}}_{ℛ_{e} / ℛ_{a}} (t)$ ^[54] $]$ .

Formule de Bour

Énoncé de la formule de Bour

Modèle:Théorème

Démonstration dans le cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels

Modèle:AlOn peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation
Modèle:Al Modèle:Transparentpour déterminer la dérivée temporelle de la grandeur vectorielle $\vec{C} (t)$ dans le référentiel absolu ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentpour cela on définit un point $P$ par son vecteur position dans le référentiel d'entraînement « $\vec{O_{e} P} (t) = \vec{C} (t)$ »
Modèle:Al Modèle:Transparentque l'on dérive par rapport à $t$ dans le référentiel absolu $ℛ_{a}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{O_{e} P}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{O_{a} P}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) - {[\frac{d \vec{O_{a} O_{e}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ ^[23] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $= {\vec{V}}_{a, P} (t) - {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)$ ^[36] ou encore,
Modèle:Al Modèle:Transparent $= {\vec{V}}_{r, P} (t) + {\vec{V}}_{e, P} (t) - {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t)$ ^[37] et finalement
Modèle:Al Modèle:Transparent $= {\vec{V}}_{r, P} (t) + {\vec{Ω}}_{ℛ_{e} / ℛ_{a}} (t) \land \vec{A P} - \vec{Ω} (t)_{ℛ_{e} / ℛ_{a}} (t) \land \vec{A O_{e}}$ ^[38] ou
Modèle:Al Modèle:Transparentaprès factorisation vectorielle à gauche par $\vec{Ω} (t)_{ℛ_{e} / ℛ_{a}} (t)$ ^[25]
Modèle:Al Modèle:Transparentdans les deux derniers termes,
Modèle:Al Modèle:Transparent $= {[\frac{d \vec{O_{e} P}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + {\vec{Ω}}_{ℛ_{e} / ℛ_{a}} (t) \land [\vec{A P} - \vec{A O_{e}}]$ ^[55] puis,
Modèle:Al Modèle:Transparentaprès une nouvelle utilisation de la relation de Chasles ^[8]
Modèle:Al Modèle:Transparent $= {[\frac{d \vec{O_{e} P}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + {\vec{Ω}}_{ℛ_{e} / ℛ_{a}} (t) \land \vec{O_{e} P}$ » soit enfin,
Modèle:Al Modèle:Transparentpar définition du point $P$ , la relation cherchée finale
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) =$ ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + {\vec{Ω}}_{ℛ_{e} / ℛ_{a}} (t) \land \vec{C} (t)$ » C.Q.F.D. ^[31].

Modèle:AlRemarques : On peut utiliser la formule de Bour ^[56] pour évaluer la dérivée temporelle des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $ℛ_{e}$
Modèle:Al Modèle:Transparenten mouvement de rotation de vecteur rotation instantanée $\vec{Ω} (t)$
Modèle:Al Modèle:Transparentautour d'un axe fixe $Δ$
Modèle:Al Modèle:Transparentdu référentiel absolu $ℛ_{a}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparenton obtient alors « ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{x}$ », « ${[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d {\vec{u}}_{y}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{y}$ » et « ${[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{z}$ » ^[57]Modèle:, ^[58].

Modèle:Al Modèle:TransparentL'application de la formule de Bour ^[56] au vecteur rotation instantanée $\vec{Ω} (t)$ d'entraînement de rotation de $ℛ_{e}$ autour de l'axe $Δ$ fixe de $ℛ_{a}$
Modèle:Al Modèle:Transparentnous conduit à « ${[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{Ω} (t)$ » $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentil est inutile de préciser le référentiel dans lequel est effectuée la dérivation temporelle.

Modèle:Al Modèle:TransparentEnfin, la formule de Bour ^[56] ayant été démontrée par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels,
Modèle:Al Modèle:Transparentil ne faut pas utiliser la formule de Bour ^[56] pour établir la loi de composition des vecteurs vitesses ^[59].

Notes et références

↑ Science Industrielle $($ ou Science de l'Ingénieur $)$ .
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 et ^2,7 Nous nous plaçons dans l'hypothèse newtonienne de séparation de l'espace et du temps $($ le temps étant alors qualifié d'« absolu » $)$ , tout ce qui suit devenant faux en relativité restreinte et encore plus en relativité générale.
↑ C.-à-d. indépendant du référentiel d'espace.
↑ ^4,0 et ^4,1 Il faut bien sûr que la fonction scalaire ne décrive pas une propriété spécifique d'un référentiel comme par exemple le nombre de points matériels présents à un instant $t$ dans une boule centrée sur l'origine du repère lié au référentiel et de rayon $R$ fixé, sa valeur serait évidemment différente en prenant l'autre référentiel.
↑ ^5,0 et ^5,1 La non spécificité relativement à un référentiel est évidemment le cas quasi-général d'une fonction scalaire, c'est la raison pour laquelle cette condition n'est quasi jamais indiquée.
↑ On considère le champ de pesanteur terrestre en un point $M_{0}$ fixe relativement à la Terre, sa dépendance éventuelle relativement au temps $t$ nécessitera de définir le référentiel dans lequel on étudie sa variation.
↑ Il en est d'ailleurs de même de la composante suivant le vecteur de base cartésienne initialement horizontal et $⊥$ à l'axe de rotation,
Modèle:Al Modèle:Transparentla composante suivant le vecteur de base cartésienne horizontal $∥$ à l'axe de rotation restant quant à elle toujours nulle $\dots$
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 ^8,4 ^8,5 ^8,6 et ^8,7 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
↑ Si on choisit un point $M$ fixe dans $ℛ_{e}$ c.-à-d. tel que ${\vec{V}}_{r, M} (t) = \vec{0}$ on retrouve que $M$ a le même vecteur vitesse absolue que l'origine $O_{e}$ du repère lié à $ℛ_{e}$ car ${\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)$ , ce qui est en accord avec le mouvement de translation de $ℛ_{e}$ relativement à $ℛ_{a}$ .
↑ ^10,0 ^10,1 ^10,2 et ^10,3 On appelle « point coïncident de $\underline{M}$ à l'instant $\underline{t_{0}}$ » le point $M_{c, t_{0}}$ lié à $ℛ_{e}$ $[$ c.-à-d. n'ayant aucun mouvement propre dans $ℛ_{e} ($ on peut aussi dire qu'il y est fixe $)$ et dont le mouvement dans $ℛ_{a}$ est celui d'entraînement de $ℛ_{e}$ relativement à $ℛ_{a}]$ dont la position à l'instant $t_{0}$ dans $ℛ_{a}$ est la même que celle de $M$ au même instant $[$ on peut aussi dire que $M_{c, t_{0}}$ est l'empreinte que laisse $M$ dans $ℛ_{e}$ à l'instant $t_{0}$ , cette empreinte garde la même position dans $ℛ_{e}$ pour tout $t > t_{0}$ alors que $M$ change de position relativement à $ℛ_{e} ($ en particulier à un instant $t_{1} > t_{0}$ le point $M$ laissera une empreinte dans $ℛ_{e}$ en une position $M_{c, t_{1}}$ différente $)]$ .
↑ On définit le mouvement d'entraînement du point $M$ à l'instant $t_{0}$ comme le mouvement absolu du point $M_{c, t_{0}}$ coïncident de $M$ à l'instant $t_{0}$ , le vecteur vitesse d'entraînement de $M$ à l'instant $t_{0}$ étant donc le vecteur vitesse absolue de $M_{c, t_{0}}$ point coïncident de $M$ à l'instant $t_{0}$ , soit « ${\vec{V}}_{e, M} (t_{0}) = {\vec{V}}_{a, M_{c, t_{0}}} (t_{0}) = {[\frac{d \vec{O_{a} M_{c, t_{0}}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t_{0})$ » $[$ ici on précise que la dérivation temporelle doit être effectuée dans $ℛ_{a}$ bien que ce ne soit pas utile dans le cas de deux référentiels en translation, pour que cette définition reste valable dans le cas où un référentiel est en rotation autour d'un axe fixe dans l'autre référentiel $]$ ;
Modèle:Aldans le cas de $ℛ_{e}$ en translation relativement à $ℛ_{a}$ , tous les points fixes de $ℛ_{e}$ ayant le même mouvement dans $ℛ_{a}$ , celui de l'origine $O_{e}$ du repère lié à $ℛ_{e}$ , on en déduit « ${\vec{V}}_{e, M} (t) =$ ${\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t) = {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)$ » ;
Modèle:Alla loi de composition des vecteurs vitesses se réécrit donc sous la forme « ${\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{e, M} (t) + {\vec{V}}_{r, M} (t)$ » $[$ nous montrerons que cette forme est en fait indépendante du mouvement d'entraînement du point $M$ avec toutefois le vecteur vitesse d'entraînement de $M$ à l'instant $t$ prenant une expression adaptée à chaque entraînement possible et si $ℛ_{e}$ n'est pas en translation relativement à $ℛ_{a}$ a priori on aura ${\vec{V}}_{e, M} (t) \neq {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)]$ .
↑ Voir le paragraphe « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » plus haut dans ce chapitre.
↑ Si on choisit un point $M$ fixe dans $ℛ_{e}$ c.-à-d. tel que ${\vec{a}}_{r, M} (t) = \vec{0}$ on retrouve que $M$ a le même vecteur accélération absolue que l'origine $O_{e}$ du repère lié à $ℛ_{e}$ car ${\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{a, O_{e}} (t)$ , ce qui est en accord avec le mouvement de translation de $ℛ_{e}$ relativement à $ℛ_{a}$ .
↑ Ayant défini le mouvement d'entraînement du point $M$ à l'instant $t_{0}$ comme le mouvement absolu du point $M_{c, t_{0}}$ coïncident de $M$ à l'instant $t_{0}$ , le vecteur accélération d'entraînement de $M$ à l'instant $t_{0}$ étant donc le vecteur accélération absolu de $M_{c, t_{0}}$ point coïncident de $M$ à l'instant $t_{0}$ , soit « ${\vec{a}}_{e, M} (t_{0}) = {\vec{a}}_{a, M_{c, t_{0}}} (t_{0}) = {[\frac{d {\vec{V}}_{a, M_{c, t_{0}}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t_{0})$ » $[$ ici on précise que la dérivation temporelle doit être effectuée dans $ℛ_{a}$ bien que ce ne soit pas utile dans le cas de deux référentiels en translation, pour que cette définition reste valable dans le cas où un référentiel est en rotation autour d'un axe fixe dans l'autre référentiel $]$ ;
Modèle:Aldans le cas de $ℛ_{e}$ en translation relativement à $ℛ_{a}$ , tous les points fixes de $ℛ_{e}$ ayant le même mouvement dans $ℛ_{a}$ , celui de l'origine $O_{e}$ du repère lié à $ℛ_{e}$ , on en déduit « ${\vec{a}}_{e, M} (t) =$ ${\vec{a}}_{a, M_{c, t}} (t) = {\vec{a}}_{a, O_{e}} (t)$ » ;
Modèle:Alla loi de composition des vecteurs accélérations se réécrit donc sous la forme « ${\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{e, M} (t) + {\vec{a}}_{r, M} (t)$ » $[$ mais si les deux vecteurs accélérations du 2^ème membre se retrouve quel que soit le mouvement d'entraînement du point $M$ avec toutefois le vecteur accélération d'entraînement de $M$ à l'instant $t$ prenant une expression adaptée à chaque entraînement possible et si $ℛ_{e}$ n'est pas en translation relativement à $ℛ_{a}$ a priori on aura « ${\vec{a}}_{e, M} (t) \neq {\vec{a}}_{a, O_{e}} (t)$ », cette forme n'est toutefois pas indépendante du mouvement d'entraînement du point $M$ car, dès que l'entraînement contient une rotation il faut ajouter un 3^ème vecteur accélération appelé « accélération complémentaire ou de Coriolis » $]$ ;
Modèle:AlGaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo-force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.
↑ Il devient alors indispensable de préciser dans quel référentiel on effectue la dérivation temporelle car $\frac{d \vec{C}}{d t} (t)$ n'a alors plus aucun sens dans la mesure où il peut s'agir de ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ ou de ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t)$ avec ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \neq {[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t)$ si le référentiel $ℛ_{e}$ est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel $ℛ_{a}$ .
↑ C.-à-d. correspondant à un entraînement de rotation uniforme.
↑ Ce choix n'est pas indispensable mais pratique, la rotation d'un point $M$ fixe dans $ℛ_{e}$ se faisant alors dans un plan $⊥$ à ${\vec{u}}_{z}$ , ses vecteurs vitesse et accélération absolues n'ont que deux composantes sur ${\vec{u}}_{x}$ et sur ${\vec{u}}_{y}$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparentdans le cas où $M$ est en mouvement dans $ℛ_{e}$ , c'est son point coïncident $M_{c, t_{0}}$ à l'instant $t_{0}$ qui a un mouvement de rotation dans un plan $⊥$ à Modèle:Nobr ainsi les vecteurs vitesse et accélération d'entraînement de $M$ $[$ qui prennent pour valeur les vecteurs vitesse et accélération absolues de son point coïncident à l'instant considéré $]$ n'ont que deux composantes sur ${\vec{u}}_{x}$ et sur ${\vec{u}}_{y}$ $($ mais bien sûr les vecteurs vitesse et accélération relative de $M$ peuvent avoir des composantes sur les trois vecteurs de base ${\vec{u}}_{x}$ , ${\vec{u}}_{y}$ et ${\vec{u}}_{z})$ .
↑ Qui aurait été le vecteur vitesse relative du point $M$ si la dérivation avait été effectuée dans le référentiel d'entraînement mais cela n'a pas été le cas !
↑ Si on choisit un point $M$ fixe dans $ℛ_{e}$ c.-à-d. tel que ${\vec{V}}_{r, M} (t) = \vec{0}$ on retrouve que $M$ a le même vecteur vitesse absolue que son point coïncident au même instant $M_{c, t}$ car ${\vec{V}}_{a, M} (t) =$ ${\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t)$ , ce qui est en accord avec la définition du point coïncident.
↑ ^20,0 et ^20,1 Ayant défini le mouvement d'entraînement du point $M$ à l'instant $t_{0}$ comme le mouvement absolu du point $M_{c, t_{0}}$ coïncident de $M$ à l'instant $t_{0}$ , le vecteur vitesse d'entraînement de $M$ à l'instant $t_{0}$ a donc pour valeur le vecteur vitesse absolue de $M_{c, t_{0}}$ point coïncident de $M$ à l'instant $t_{0}$ , soit « ${\vec{V}}_{e, M} (t_{0}) = {\vec{V}}_{a, M_{c, t_{0}}} (t_{0}) = {[\frac{d \vec{O_{a} M_{c, t_{0}}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t_{0})$ ».
↑ ^21,0 ^21,1 et ^21,2 Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ On définit le champ des vecteurs vitesses d'entraînement relativement au point $M$ , ce champ prenant pour valeur le vecteur vitesse absolue du point $M_{c, t}$ coïncident de $M$ à l'instant $t$ mais attention il faut distinguer le champ ${\vec{V}}_{e, M} (t)$ de sa valeur ${\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t)$ et ceci en particulier quand on dérive temporellement :
Modèle:Alen effet dériver temporellement ${\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t)$ dans $ℛ_{e}$ , le point $M_{c, t}$ y étant fixe $\Rightarrow$ « ${[\frac{d {\vec{V}}_{a, M_{c, t}}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) =$ $\lim \limits_{δ t \to 0} \frac{{\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t + δ t) - {\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t)}{δ t}$ » alors que
Modèle:Al Modèle:Transparenteffectuer la dérivation temporelle de ${\vec{V}}_{e, M} (t)$ dans $ℛ_{e}$ conduit à « ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) =$ $\lim \limits_{δ t \to 0} \frac{{\vec{V}}_{e, M} (t + δ t) - {\vec{V}}_{e, M} (t)}{δ t} = \lim \limits_{δ t \to 0} \frac{{\vec{V}}_{a, M_{c, t + δ t}} (t + δ t) - {\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t)}{δ t}$ » par définition de ${\vec{V}}_{e, M} (t)$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparenton peut affirmer qu'a priori « ${[\frac{d {\vec{V}}_{a, M_{c, t}}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) \neq {[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t)$ ».
↑ ^23,0 ^23,1 et ^23,2 Par utilisation de la relation de Chasles simultanément à la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle.
Modèle:AlMichel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français : voir la note « ⁸ » pour plus de détails.
↑ Par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses aux deux points fixes $I$ et $O_{e}$ de $ℛ_{e}$ .
↑ ^25,0 ^25,1 ^25,2 ^25,3 ^25,4 ^25,5 et ^25,6 Opération inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle $[$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]$ .
↑ Par utilisation de la relation de Chasles.
Modèle:AlMichel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français : voir la note « ⁸ » pour plus de détails.
↑ ^27,0 et ^27,1 Cette dernière dérivée ${[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ est nulle si le vecteur ${\vec{u}}_{z}$ a été choisi sur l'axe $Δ$ comme sur le cas de la figure $($ mais ce choix, même s'il est très souvent fait, n'est pas indispensable $)$ .
↑ Cette façon de procéder rend les résultats indépendants de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation et donc
Modèle:Al Modèle:Transparentautorise l'utilisation de ces résultats pour établir la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un tel entraînement, démonstration non intrinsèque traitée dans le paragraphe « autre façon d'établir la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu par utilisation exclusive de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement » plus loin dans ce chapitre.
↑ Ce qui a pour 1^ère conséquence ${[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{0}$ .
↑ ^30,0 et ^30,1 Selon la propriété suivante « la dérivée d'un vecteur unitaire d'un plan fixe par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan est le vecteur unitaire du plan qui se déduit du vecteur unitaire dérivé par rotation de $+ \frac{π}{2}$ » vue au paragraphe « dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy dans le référentiel d'étude (plus précisément la propriété énoncée dans l'encadré à retenir) » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^31,0 ^31,1 et ^31,2 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ ^32,0 et ^32,1 Voir le paragraphe « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^33,0 et ^33,1 Voir le paragraphe « détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement (remarque) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Cette démonstration peut être qualifiée d'« intrinsèque » car elle est faite sans intervention d'une quelconque base liée à l'un ou l'autre référentiel.
↑ Dans le but de pouvoir appliquer la loi de composition des vecteurs vitesses.
↑ ^36,0 et ^36,1 Par définition des vecteurs vitesses absolues des points $P$ et $O_{e}$ .
↑ ^37,0 et ^37,1 Par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses aux deux points $P$ et $O_{e}$ , $P$ étant mobile dans $ℛ_{e}$ et $O_{e}$ y étant fixe $\Rightarrow$ ${\vec{V}}_{r, O_{e}} (t) = \vec{0}$ et par suite ${\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) = {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t)$ .
↑ ^38,0 ^38,1 ^38,2 ^38,3 et ^38,4 Voir le paragraphe « établissment de la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu et en utilisant (partiellement) la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement (en fin de paragraphe) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Par définition de la vitesse relative du point $P$ et nouvelle application de la relation de Chasles.
Modèle:AlMichel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français : voir la note « ⁸ » pour plus de détails.
↑ Le point $A$ étant fixe dans $ℛ_{a}$ peut aussi être utilisé comme origine du vecteur position de $M$ dans $ℛ_{a}$ et par suite sa dérivée temporelle est effectivement le vecteur vitesse absolue de $M$ .
↑ ^41,0 et ^41,1 Voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^42,0 et ^42,1 Le 2^ème terme du 2^ème membre se transforme aisément par utilisation d'une formule du double produit vectoriel selon $\vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)] =$ $- {\vec{Ω}}^{2} (t) \vec{C_{M} M} (t)$ avec $C_{M}$ le projeté de $M$ sur $Δ$ $[$ voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t (plus particulièrement avec choix d'un point de l'axe autre que le centre du cercle) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .
↑ Cela résulte de la non dépendance du mouvement relatif du point $M$ mais il pourrait y avoir, dans le reste de la décomposition de ${[\frac{d {\vec{V}}_{a, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ , d'autres termes ne dépendant pas du mouvement relatif de $M$ et qui pourraient constituer une partie du vecteur accélération d'entraînement ${\vec{a}}_{e, M} (t)$ du point $M$ à l'instant $t$ $($ nous pouvons vérifier, a posteriori, que ce n'est pas le cas d'où l'assimilation $) \dots$
↑ Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t (plus particulièrement avec choix d'un point de l'axe autre que le centre du cercle) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
Modèle:Alcette expression se détermine à partir de ${\vec{a}}_{a, M_{c, t}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M_{c, t}} (t) - \vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A M_{c, t}} (t)]$ par utilisation d'une formule du double produit vectoriel introduite au paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à savoir « $\vec{u} \land (\vec{v} \land \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}$ ».
↑ C.-à-d. le centre du cercle décrit par $M_{c, t}$ dans le référentiel absolu $ℛ_{a})$ .
↑ On notera que « ${\vec{a}}_{e, M} (t) \neq {[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » la raison ayant déjà été donnée à la note « ²² » de ce chapitre, « ${\vec{a}}_{e, M} (t)$ prenant pour valeur ${\vec{a}}_{a, M_{c, t}} (t) = {[\frac{d {\vec{V}}_{a, M_{c, t}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ ».
↑ ^47,0 ^47,1 ^47,2 et ^47,3 Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo-force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.
↑ La dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée gardant la même valeur dans le référentiel d'entraînement il devient inutile d'indiquer le référentiel dans lequel la dérivation est effectuée d'où « ${[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » que nous noterons simplement « $\frac{d \vec{Ω}}{d t} (t)$ », voir justification ci-dessous :
Modèle:Alintroduisant un « point $P$ tel que $\vec{Ω} (t) = \vec{O_{e} P} (t)$ », l'évaluation de la dérivée temporelle « ${[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ se réécrit alors ${[\frac{d \vec{O_{e} P}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) =$ ${[\frac{d \vec{O_{a} P}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) - {[\frac{d \vec{O_{a} O_{e}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » par utilisation de la relation de Chasles et de la linéarité de la dérivation temporelle, définissant ainsi la différence entre le vecteur vitesse absolue du point $P$ et celui du point $O_{e}$ c.-à-d. « ${\vec{V}}_{a, P} (t) - {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)$ » ;
Modèle:Alon y applique la loi de composition des vecteurs vitesses soit « ${\vec{V}}_{a, P} (t) - {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) = [{\vec{V}}_{r, P} (t) + {\vec{V}}_{e, P} (t)] - [{\vec{V}}_{r, O_{e}} (t) + {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t)]$ » avec
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{V}}_{r, P} = {[\frac{d \vec{O_{e} P}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t)$ » d'une part et
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{V}}_{e, P} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{A P} = \vec{Ω} (t) \land [\vec{O_{e} P} - \vec{O_{e} A}] = \vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} P} + \vec{Ω} (t) \land \vec{A O_{e}}$ » par utilisation de la relation de Chasles puis par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle $[$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]$ ou encore « ${\vec{V}}_{e, P} (t) =$ $\vec{Ω} (t) \land \vec{Ω} (t) + {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t)$ » d'autre part,
Modèle:Al Modèle:Transparentsoit finalement « ${[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {\vec{V}}_{a, P} (t) + {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) = {\vec{V}}_{r, P} (t) + {\vec{V}}_{e, P} (t) - {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t) - {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t)$ ».
↑ La principale embûche de la méthode intrinsèque est d'écrire ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ égal à ${\vec{a}}_{e, M} (t)$ alors que ce dernier prenant pour valeur ${\vec{a}}_{a, M_{c, t}} (t)$ doit être identifié à ${[\frac{d {\vec{V}}_{a, M_{c, t}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ et non à ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ d'où l'introduction possible dès le début d'une erreur, la méthode intrinsèque ne peut donc pas être utilisée sans réflexion contrairement à la méthode non intrinsèque exposée ci-après de pratique plus automatique.
↑ L'origine $O_{e}$ du repère associé à $ℛ_{e}$ y étant un point fixe décrivant dans $ℛ_{a}$ un mouvement circulaire d'axe $Δ$ et de vecteur rotation instantanée $\vec{Ω} (t)$ d'où l'expression intrinsèque de son vecteur vitesse absolue $[$ voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .
↑ ^51,0 et ^51,1 Dans le but de simplifier l'exposé.
↑ Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t (plus particulièrement avec choix d'un point de l'axe autre que le centre du cercle) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Ce dernier terme peut être réécrit en utilisant une formule du double produit vectoriel selon « $\vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)] = - {\vec{Ω}}^{2} (t) \vec{C_{M} M} (t)$ » avec « $C_{M}$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $Δ$ $[$ voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à savoir « $\vec{u} \land (\vec{v} \land \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}$ » ainsi que l'application de cette formule au cas présent dans le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t (plus particulièrement avec choix d'un point de l'axe autre que le centre du cercle) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .
↑ Bien que la formule que nous établirons soit indépendante de cette limitation.
↑ Le 1^er terme résultant de la définition du vecteur vitesse relative du point $P$ .
↑ ^56,0 ^56,1 ^56,2 et ^56,3 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées Bour
↑ S'il est nécessaire d'évaluer cette dernière dérivée parce qu'elle n'est pas nulle $[$ par exemple parce qu'on aurait choisi ${\vec{u}}_{z}$ non porté par l'axe de rotation $]$ .
↑ Bien entendu, dans la mesure où on a démontré la formule de Bour par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels, si on utilise « ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{x}$ » $($ ainsi que les deux autres relations analogues $)$ pour démontrer la loi de composition des vecteurs vitesses, il est ABSOLUMENT NÉCESSAIRE de démontrer autrement ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{x}$ $($ ainsi que les deux autres relations analogues $)$ comme cela a été proposé dans la remarque du paragraphe « détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement » plus haut dans ce chapitre $\dots$
↑ Ce qui serait pourtant bien tentant, la seule condition pour l'utiliser serait alors de démontrer la formule de Bour autrement $\dots$
Modèle:AlSi la formule de Bour avait été démontrée autrement on définirait alors les vecteurs positions dans $ℛ_{a}$ et $ℛ_{e}$ à partir d'un point fixe dans les deux, par exemple $A$ point fixe de l'axe fixe $Δ$ et
Modèle:Al Modèle:Transparenton aurait, en appliquant la formule de Bour à $\vec{A M} (t)$ , la relation vectorielle suivante « ${[\frac{d \vec{A M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) =$ ${[\frac{d \vec{A M}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)$ » soit « ${\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{r, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)$ » ce dernier terme s'identifiant à « ${\vec{V}}_{e, M} (t)$ » mais cette démonstration ne peut être acceptée que si la formule de Bour n'est pas démontrée par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses $\dots$

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[1] Science Industrielle $($ ou Science de l'Ingénieur $)$ .

[référentiel_d'espace-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 et ^2,7 Nous nous plaçons dans l'hypothèse newtonienne de séparation de l'espace et du temps $($ le temps étant alors qualifié d'« absolu » $)$ , tout ce qui suit devenant faux en relativité restreinte et encore plus en relativité générale.

[absolu-3] C.-à-d. indépendant du référentiel d'espace.

[non_spécifique_d'un_référentiel-4] 4,0 et ^4,1 Il faut bien sûr que la fonction scalaire ne décrive pas une propriété spécifique d'un référentiel comme par exemple le nombre de points matériels présents à un instant $t$ dans une boule centrée sur l'origine du repère lié au référentiel et de rayon $R$ fixé, sa valeur serait évidemment différente en prenant l'autre référentiel.

[abus_de_condition-5] 5,0 et ^5,1 La non spécificité relativement à un référentiel est évidemment le cas quasi-général d'une fonction scalaire, c'est la raison pour laquelle cette condition n'est quasi jamais indiquée.

[6] On considère le champ de pesanteur terrestre en un point $M_{0}$ fixe relativement à la Terre, sa dépendance éventuelle relativement au temps $t$ nécessitera de définir le référentiel dans lequel on étudie sa variation.

[7] Il en est d'ailleurs de même de la composante suivant le vecteur de base cartésienne initialement horizontal et $⊥$ à l'axe de rotation,
Modèle:Al Modèle:Transparentla composante suivant le vecteur de base cartésienne horizontal $∥$ à l'axe de rotation restant quant à elle toujours nulle $\dots$

[Chasles-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 ^8,4 ^8,5 ^8,6 et ^8,7 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.

[9] Si on choisit un point $M$ fixe dans $ℛ_{e}$ c.-à-d. tel que ${\vec{V}}_{r, M} (t) = \vec{0}$ on retrouve que $M$ a le même vecteur vitesse absolue que l'origine $O_{e}$ du repère lié à $ℛ_{e}$ car ${\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)$ , ce qui est en accord avec le mouvement de translation de $ℛ_{e}$ relativement à $ℛ_{a}$ .

[point_coïncident-10] 10,0 ^10,1 ^10,2 et ^10,3 On appelle « point coïncident de $\underline{M}$ à l'instant $\underline{t_{0}}$ » le point $M_{c, t_{0}}$ lié à $ℛ_{e}$ $[$ c.-à-d. n'ayant aucun mouvement propre dans $ℛ_{e} ($ on peut aussi dire qu'il y est fixe $)$ et dont le mouvement dans $ℛ_{a}$ est celui d'entraînement de $ℛ_{e}$ relativement à $ℛ_{a}]$ dont la position à l'instant $t_{0}$ dans $ℛ_{a}$ est la même que celle de $M$ au même instant $[$ on peut aussi dire que $M_{c, t_{0}}$ est l'empreinte que laisse $M$ dans $ℛ_{e}$ à l'instant $t_{0}$ , cette empreinte garde la même position dans $ℛ_{e}$ pour tout $t > t_{0}$ alors que $M$ change de position relativement à $ℛ_{e} ($ en particulier à un instant $t_{1} > t_{0}$ le point $M$ laissera une empreinte dans $ℛ_{e}$ en une position $M_{c, t_{1}}$ différente $)]$ .

[vitesse_d'entraînement-11] On définit le mouvement d'entraînement du point $M$ à l'instant $t_{0}$ comme le mouvement absolu du point $M_{c, t_{0}}$ coïncident de $M$ à l'instant $t_{0}$ , le vecteur vitesse d'entraînement de $M$ à l'instant $t_{0}$ étant donc le vecteur vitesse absolue de $M_{c, t_{0}}$ point coïncident de $M$ à l'instant $t_{0}$ , soit « ${\vec{V}}_{e, M} (t_{0}) = {\vec{V}}_{a, M_{c, t_{0}}} (t_{0}) = {[\frac{d \vec{O_{a} M_{c, t_{0}}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t_{0})$ » $[$ ici on précise que la dérivation temporelle doit être effectuée dans $ℛ_{a}$ bien que ce ne soit pas utile dans le cas de deux référentiels en translation, pour que cette définition reste valable dans le cas où un référentiel est en rotation autour d'un axe fixe dans l'autre référentiel $]$ ;
Modèle:Aldans le cas de $ℛ_{e}$ en translation relativement à $ℛ_{a}$ , tous les points fixes de $ℛ_{e}$ ayant le même mouvement dans $ℛ_{a}$ , celui de l'origine $O_{e}$ du repère lié à $ℛ_{e}$ , on en déduit « ${\vec{V}}_{e, M} (t) =$ ${\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t) = {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)$ » ;
Modèle:Alla loi de composition des vecteurs vitesses se réécrit donc sous la forme « ${\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{e, M} (t) + {\vec{V}}_{r, M} (t)$ » $[$ nous montrerons que cette forme est en fait indépendante du mouvement d'entraînement du point $M$ avec toutefois le vecteur vitesse d'entraînement de $M$ à l'instant $t$ prenant une expression adaptée à chaque entraînement possible et si $ℛ_{e}$ n'est pas en translation relativement à $ℛ_{a}$ a priori on aura ${\vec{V}}_{e, M} (t) \neq {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)]$ .

[12] Voir le paragraphe « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » plus haut dans ce chapitre.

[13] Si on choisit un point $M$ fixe dans $ℛ_{e}$ c.-à-d. tel que ${\vec{a}}_{r, M} (t) = \vec{0}$ on retrouve que $M$ a le même vecteur accélération absolue que l'origine $O_{e}$ du repère lié à $ℛ_{e}$ car ${\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{a, O_{e}} (t)$ , ce qui est en accord avec le mouvement de translation de $ℛ_{e}$ relativement à $ℛ_{a}$ .

[accélération_d'entraînement-14] Ayant défini le mouvement d'entraînement du point $M$ à l'instant $t_{0}$ comme le mouvement absolu du point $M_{c, t_{0}}$ coïncident de $M$ à l'instant $t_{0}$ , le vecteur accélération d'entraînement de $M$ à l'instant $t_{0}$ étant donc le vecteur accélération absolu de $M_{c, t_{0}}$ point coïncident de $M$ à l'instant $t_{0}$ , soit « ${\vec{a}}_{e, M} (t_{0}) = {\vec{a}}_{a, M_{c, t_{0}}} (t_{0}) = {[\frac{d {\vec{V}}_{a, M_{c, t_{0}}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t_{0})$ » $[$ ici on précise que la dérivation temporelle doit être effectuée dans $ℛ_{a}$ bien que ce ne soit pas utile dans le cas de deux référentiels en translation, pour que cette définition reste valable dans le cas où un référentiel est en rotation autour d'un axe fixe dans l'autre référentiel $]$ ;
Modèle:Aldans le cas de $ℛ_{e}$ en translation relativement à $ℛ_{a}$ , tous les points fixes de $ℛ_{e}$ ayant le même mouvement dans $ℛ_{a}$ , celui de l'origine $O_{e}$ du repère lié à $ℛ_{e}$ , on en déduit « ${\vec{a}}_{e, M} (t) =$ ${\vec{a}}_{a, M_{c, t}} (t) = {\vec{a}}_{a, O_{e}} (t)$ » ;
Modèle:Alla loi de composition des vecteurs accélérations se réécrit donc sous la forme « ${\vec{a}}_{a, M} (t) = {\vec{a}}_{e, M} (t) + {\vec{a}}_{r, M} (t)$ » $[$ mais si les deux vecteurs accélérations du 2^ème membre se retrouve quel que soit le mouvement d'entraînement du point $M$ avec toutefois le vecteur accélération d'entraînement de $M$ à l'instant $t$ prenant une expression adaptée à chaque entraînement possible et si $ℛ_{e}$ n'est pas en translation relativement à $ℛ_{a}$ a priori on aura « ${\vec{a}}_{e, M} (t) \neq {\vec{a}}_{a, O_{e}} (t)$ », cette forme n'est toutefois pas indépendante du mouvement d'entraînement du point $M$ car, dès que l'entraînement contient une rotation il faut ajouter un 3^ème vecteur accélération appelé « accélération complémentaire ou de Coriolis » $]$ ;
Modèle:AlGaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo-force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.

[15] Il devient alors indispensable de préciser dans quel référentiel on effectue la dérivation temporelle car $\frac{d \vec{C}}{d t} (t)$ n'a alors plus aucun sens dans la mesure où il peut s'agir de ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ ou de ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t)$ avec ${[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \neq {[\frac{d \vec{C}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t)$ si le référentiel $ℛ_{e}$ est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel $ℛ_{a}$ .

[rotation_uniforme-16] C.-à-d. correspondant à un entraînement de rotation uniforme.

[17] Ce choix n'est pas indispensable mais pratique, la rotation d'un point $M$ fixe dans $ℛ_{e}$ se faisant alors dans un plan $⊥$ à ${\vec{u}}_{z}$ , ses vecteurs vitesse et accélération absolues n'ont que deux composantes sur ${\vec{u}}_{x}$ et sur ${\vec{u}}_{y}$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparentdans le cas où $M$ est en mouvement dans $ℛ_{e}$ , c'est son point coïncident $M_{c, t_{0}}$ à l'instant $t_{0}$ qui a un mouvement de rotation dans un plan $⊥$ à Modèle:Nobr ainsi les vecteurs vitesse et accélération d'entraînement de $M$ $[$ qui prennent pour valeur les vecteurs vitesse et accélération absolues de son point coïncident à l'instant considéré $]$ n'ont que deux composantes sur ${\vec{u}}_{x}$ et sur ${\vec{u}}_{y}$ $($ mais bien sûr les vecteurs vitesse et accélération relative de $M$ peuvent avoir des composantes sur les trois vecteurs de base ${\vec{u}}_{x}$ , ${\vec{u}}_{y}$ et ${\vec{u}}_{z})$ .

[18] Qui aurait été le vecteur vitesse relative du point $M$ si la dérivation avait été effectuée dans le référentiel d'entraînement mais cela n'a pas été le cas !

[19] Si on choisit un point $M$ fixe dans $ℛ_{e}$ c.-à-d. tel que ${\vec{V}}_{r, M} (t) = \vec{0}$ on retrouve que $M$ a le même vecteur vitesse absolue que son point coïncident au même instant $M_{c, t}$ car ${\vec{V}}_{a, M} (t) =$ ${\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t)$ , ce qui est en accord avec la définition du point coïncident.

[vitesse_d'entraînement_-_bis-20] 20,0 et ^20,1 Ayant défini le mouvement d'entraînement du point $M$ à l'instant $t_{0}$ comme le mouvement absolu du point $M_{c, t_{0}}$ coïncident de $M$ à l'instant $t_{0}$ , le vecteur vitesse d'entraînement de $M$ à l'instant $t_{0}$ a donc pour valeur le vecteur vitesse absolue de $M_{c, t_{0}}$ point coïncident de $M$ à l'instant $t_{0}$ , soit « ${\vec{V}}_{e, M} (t_{0}) = {\vec{V}}_{a, M_{c, t_{0}}} (t_{0}) = {[\frac{d \vec{O_{a} M_{c, t_{0}}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t_{0})$ ».

[expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_d'un_point_en_mouvement_circulaire-21] 21,0 ^21,1 et ^21,2 Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[22] On définit le champ des vecteurs vitesses d'entraînement relativement au point $M$ , ce champ prenant pour valeur le vecteur vitesse absolue du point $M_{c, t}$ coïncident de $M$ à l'instant $t$ mais attention il faut distinguer le champ ${\vec{V}}_{e, M} (t)$ de sa valeur ${\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t)$ et ceci en particulier quand on dérive temporellement :
Modèle:Alen effet dériver temporellement ${\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t)$ dans $ℛ_{e}$ , le point $M_{c, t}$ y étant fixe $\Rightarrow$ « ${[\frac{d {\vec{V}}_{a, M_{c, t}}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) =$ $\lim \limits_{δ t \to 0} \frac{{\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t + δ t) - {\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t)}{δ t}$ » alors que
Modèle:Al Modèle:Transparenteffectuer la dérivation temporelle de ${\vec{V}}_{e, M} (t)$ dans $ℛ_{e}$ conduit à « ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) =$ $\lim \limits_{δ t \to 0} \frac{{\vec{V}}_{e, M} (t + δ t) - {\vec{V}}_{e, M} (t)}{δ t} = \lim \limits_{δ t \to 0} \frac{{\vec{V}}_{a, M_{c, t + δ t}} (t + δ t) - {\vec{V}}_{a, M_{c, t}} (t)}{δ t}$ » par définition de ${\vec{V}}_{e, M} (t)$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparenton peut affirmer qu'a priori « ${[\frac{d {\vec{V}}_{a, M_{c, t}}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) \neq {[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t)$ ».

[relation_de_Chasles_et_linéarité_de_l'opérateur_dérivation-23] 23,0 ^23,1 et ^23,2 Par utilisation de la relation de Chasles simultanément à la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle.
Modèle:AlMichel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français : voir la note « ⁸ » pour plus de détails.

[utilisation_de_loi_de_composition_des_vecteurs_vitesses-24] Par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses aux deux points fixes $I$ et $O_{e}$ de $ℛ_{e}$ .

[factorisation_vectorielle-25] 25,0 ^25,1 ^25,2 ^25,3 ^25,4 ^25,5 et ^25,6 Opération inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle $[$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]$ .

[relation_de_Chasles-26] Par utilisation de la relation de Chasles.
Modèle:AlMichel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français : voir la note « ⁸ » pour plus de détails.

[si_uz_choisi_porté_par_Delta-27] 27,0 et ^27,1 Cette dernière dérivée ${[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ est nulle si le vecteur ${\vec{u}}_{z}$ a été choisi sur l'axe $Δ$ comme sur le cas de la figure $($ mais ce choix, même s'il est très souvent fait, n'est pas indispensable $)$ .

[28] Cette façon de procéder rend les résultats indépendants de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation et donc
Modèle:Al Modèle:Transparentautorise l'utilisation de ces résultats pour établir la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un tel entraînement, démonstration non intrinsèque traitée dans le paragraphe « autre façon d'établir la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu par utilisation exclusive de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement » plus loin dans ce chapitre.

[29] Ce qui a pour 1^ère conséquence ${[\frac{d {\vec{u}}_{z}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{0}$ .

[dériver_un_vecteur_unitaire_d'un_plan_fixe_par_rapport_à_l'angle_qu'il_fait_avec_une_direction_fixe_du_plan-30] 30,0 et ^30,1 Selon la propriété suivante « la dérivée d'un vecteur unitaire d'un plan fixe par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan est le vecteur unitaire du plan qui se déduit du vecteur unitaire dérivé par rotation de $+ \frac{π}{2}$ » vue au paragraphe « dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy dans le référentiel d'étude (plus précisément la propriété énoncée dans l'encadré à retenir) » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[C.Q.F.D.-31] 31,0 ^31,1 et ^31,2 Ce Qu'il Fallait Démontrer.

[début_de_démonstration_de_la_loi_de_composition_des_vecteurs_vitesses_dans_le_cas_de_translation-32] 32,0 et ^32,1 Voir le paragraphe « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » plus haut dans ce chapitre.

[dérivée_temporelle_des_vecteurs_de_base_de_Re_dans_Ra-33] 33,0 et ^33,1 Voir le paragraphe « détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement (remarque) » plus haut dans ce chapitre.

[caractère_intrinsèque-34] Cette démonstration peut être qualifiée d'« intrinsèque » car elle est faite sans intervention d'une quelconque base liée à l'un ou l'autre référentiel.

[pour_utiliser_la_loi_de_composition_des_vecteurs_vitesses-35] Dans le but de pouvoir appliquer la loi de composition des vecteurs vitesses.

[définition_des_vecteurs_vitesses_absolues_de_P_et_Oe-36] 36,0 et ^36,1 Par définition des vecteurs vitesses absolues des points $P$ et $O_{e}$ .

[utilisation_de_loi_de_composition_des_vecteurs_vitesses_-_bis-37] 37,0 et ^37,1 Par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses aux deux points $P$ et $O_{e}$ , $P$ étant mobile dans $ℛ_{e}$ et $O_{e}$ y étant fixe $\Rightarrow$ ${\vec{V}}_{r, O_{e}} (t) = \vec{0}$ et par suite ${\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) = {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t)$ .

[expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_d'entraînement_en_rotation-38] 38,0 ^38,1 ^38,2 ^38,3 et ^38,4 Voir le paragraphe « établissment de la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu et en utilisant (partiellement) la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement (en fin de paragraphe) » plus haut dans ce chapitre.

[39] Par définition de la vitesse relative du point $P$ et nouvelle application de la relation de Chasles.
Modèle:AlMichel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français : voir la note « ⁸ » pour plus de détails.

[40] Le point $A$ étant fixe dans $ℛ_{a}$ peut aussi être utilisé comme origine du vecteur position de $M$ dans $ℛ_{a}$ et par suite sa dérivée temporelle est effectivement le vecteur vitesse absolue de $M$ .

[distributivité_de_la_multiplication_vectorielle_par_rapport_à_l'addition_vectorielle-41] 41,0 et ^41,1 Voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[par_double_produit_vectoriel-42] 42,0 et ^42,1 Le 2^ème terme du 2^ème membre se transforme aisément par utilisation d'une formule du double produit vectoriel selon $\vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)] =$ $- {\vec{Ω}}^{2} (t) \vec{C_{M} M} (t)$ avec $C_{M}$ le projeté de $M$ sur $Δ$ $[$ voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t (plus particulièrement avec choix d'un point de l'axe autre que le centre du cercle) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .

[43] Cela résulte de la non dépendance du mouvement relatif du point $M$ mais il pourrait y avoir, dans le reste de la décomposition de ${[\frac{d {\vec{V}}_{a, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ , d'autres termes ne dépendant pas du mouvement relatif de $M$ et qui pourraient constituer une partie du vecteur accélération d'entraînement ${\vec{a}}_{e, M} (t)$ du point $M$ à l'instant $t$ $($ nous pouvons vérifier, a posteriori, que ce n'est pas le cas d'où l'assimilation $) \dots$

[expression_intrinsèque_du_vecteur_accélération_d'un_point_en_mouvement_circulaire-44] Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t (plus particulièrement avec choix d'un point de l'axe autre que le centre du cercle) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
Modèle:Alcette expression se détermine à partir de ${\vec{a}}_{a, M_{c, t}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) \land \vec{A M_{c, t}} (t) - \vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A M_{c, t}} (t)]$ par utilisation d'une formule du double produit vectoriel introduite au paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à savoir « $\vec{u} \land (\vec{v} \land \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}$ ».

[projeté_de_Mc,t_sur_Delta-45] C.-à-d. le centre du cercle décrit par $M_{c, t}$ dans le référentiel absolu $ℛ_{a})$ .

[46] On notera que « ${\vec{a}}_{e, M} (t) \neq {[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » la raison ayant déjà été donnée à la note « ²² » de ce chapitre, « ${\vec{a}}_{e, M} (t)$ prenant pour valeur ${\vec{a}}_{a, M_{c, t}} (t) = {[\frac{d {\vec{V}}_{a, M_{c, t}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ ».

[Coriolis-47] 47,0 ^47,1 ^47,2 et ^47,3 Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo-force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.

[indépendance_du_référentiel_de_dérivation-48] La dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée gardant la même valeur dans le référentiel d'entraînement il devient inutile d'indiquer le référentiel dans lequel la dérivation est effectuée d'où « ${[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » que nous noterons simplement « $\frac{d \vec{Ω}}{d t} (t)$ », voir justification ci-dessous :
Modèle:Alintroduisant un « point $P$ tel que $\vec{Ω} (t) = \vec{O_{e} P} (t)$ », l'évaluation de la dérivée temporelle « ${[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ se réécrit alors ${[\frac{d \vec{O_{e} P}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) =$ ${[\frac{d \vec{O_{a} P}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) - {[\frac{d \vec{O_{a} O_{e}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ » par utilisation de la relation de Chasles et de la linéarité de la dérivation temporelle, définissant ainsi la différence entre le vecteur vitesse absolue du point $P$ et celui du point $O_{e}$ c.-à-d. « ${\vec{V}}_{a, P} (t) - {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t)$ » ;
Modèle:Alon y applique la loi de composition des vecteurs vitesses soit « ${\vec{V}}_{a, P} (t) - {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) = [{\vec{V}}_{r, P} (t) + {\vec{V}}_{e, P} (t)] - [{\vec{V}}_{r, O_{e}} (t) + {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t)]$ » avec
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{V}}_{r, P} = {[\frac{d \vec{O_{e} P}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t)$ » d'une part et
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\vec{V}}_{e, P} (t) = \vec{Ω} (t) \land \vec{A P} = \vec{Ω} (t) \land [\vec{O_{e} P} - \vec{O_{e} A}] = \vec{Ω} (t) \land \vec{O_{e} P} + \vec{Ω} (t) \land \vec{A O_{e}}$ » par utilisation de la relation de Chasles puis par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle $[$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]$ ou encore « ${\vec{V}}_{e, P} (t) =$ $\vec{Ω} (t) \land \vec{Ω} (t) + {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t)$ » d'autre part,
Modèle:Al Modèle:Transparentsoit finalement « ${[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = {\vec{V}}_{a, P} (t) + {\vec{V}}_{a, O_{e}} (t) = {\vec{V}}_{r, P} (t) + {\vec{V}}_{e, P} (t) - {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t) = {[\frac{d \vec{Ω}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t) - {\vec{V}}_{e, O_{e}} (t)$ ».

[49] La principale embûche de la méthode intrinsèque est d'écrire ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ égal à ${\vec{a}}_{e, M} (t)$ alors que ce dernier prenant pour valeur ${\vec{a}}_{a, M_{c, t}} (t)$ doit être identifié à ${[\frac{d {\vec{V}}_{a, M_{c, t}}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ et non à ${[\frac{d {\vec{V}}_{e, M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t)$ d'où l'introduction possible dès le début d'une erreur, la méthode intrinsèque ne peut donc pas être utilisée sans réflexion contrairement à la méthode non intrinsèque exposée ci-après de pratique plus automatique.

[mouvement_absolu_de_Oe_pour_un_entraînement_de_rotation-50] L'origine $O_{e}$ du repère associé à $ℛ_{e}$ y étant un point fixe décrivant dans $ℛ_{a}$ un mouvement circulaire d'axe $Δ$ et de vecteur rotation instantanée $\vec{Ω} (t)$ d'où l'expression intrinsèque de son vecteur vitesse absolue $[$ voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .

[pour_simplifier_l'exposé-51] 51,0 et ^51,1 Dans le but de simplifier l'exposé.

[expression_intrinsèque_du_vecteur_accélération_d'un_point_en_mouvement_circulaire_-_bis-52] Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t (plus particulièrement avec choix d'un point de l'axe autre que le centre du cercle) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[transformation_par_double_produit_vectoriel-53] Ce dernier terme peut être réécrit en utilisant une formule du double produit vectoriel selon « $\vec{Ω} (t) \land [\vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)] = - {\vec{Ω}}^{2} (t) \vec{C_{M} M} (t)$ » avec « $C_{M}$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $Δ$ $[$ voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à savoir « $\vec{u} \land (\vec{v} \land \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}$ » ainsi que l'application de cette formule au cas présent dans le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t (plus particulièrement avec choix d'un point de l'axe autre que le centre du cercle) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .

[54] Bien que la formule que nous établirons soit indépendante de cette limitation.

[55] Le 1^er terme résultant de la définition du vecteur vitesse relative du point $P$ .

[Bour-56] 56,0 ^56,1 ^56,2 et ^56,3 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées Bour

[57] S'il est nécessaire d'évaluer cette dernière dérivée parce qu'elle n'est pas nulle $[$ par exemple parce qu'on aurait choisi ${\vec{u}}_{z}$ non porté par l'axe de rotation $]$ .

[58] Bien entendu, dans la mesure où on a démontré la formule de Bour par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels, si on utilise « ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{x}$ » $($ ainsi que les deux autres relations analogues $)$ pour démontrer la loi de composition des vecteurs vitesses, il est ABSOLUMENT NÉCESSAIRE de démontrer autrement ${[\frac{d {\vec{u}}_{x}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) = \vec{Ω} (t) \land {\vec{u}}_{x}$ $($ ainsi que les deux autres relations analogues $)$ comme cela a été proposé dans la remarque du paragraphe « détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement » plus haut dans ce chapitre $\dots$

[59] Ce qui serait pourtant bien tentant, la seule condition pour l'utiliser serait alors de démontrer la formule de Bour autrement $\dots$
Modèle:AlSi la formule de Bour avait été démontrée autrement on définirait alors les vecteurs positions dans $ℛ_{a}$ et $ℛ_{e}$ à partir d'un point fixe dans les deux, par exemple $A$ point fixe de l'axe fixe $Δ$ et
Modèle:Al Modèle:Transparenton aurait, en appliquant la formule de Bour à $\vec{A M} (t)$ , la relation vectorielle suivante « ${[\frac{d \vec{A M}}{d t}]}_{ℛ_{a}} (t) =$ ${[\frac{d \vec{A M}}{d t}]}_{ℛ_{e}} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)$ » soit « ${\vec{V}}_{a, M} (t) = {\vec{V}}_{r, M} (t) + \vec{Ω} (t) \land \vec{A M} (t)$ » ce dernier terme s'identifiant à « ${\vec{V}}_{e, M} (t)$ » mais cette démonstration ne peut être acceptée que si la formule de Bour n'est pas démontrée par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses $\dots$

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Changement de référentiels

Sommaire

Position du problème

Cas d'un entraînement de translation

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de translation

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre

Cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Établissement de la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu et en utilisant (partiellement) la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Autre façon d'établir la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu par utilisation exclusive de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Établissement intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Établissement non intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu, en utilisant la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Cas particulier très fréquent : entraînement de rotation uniforme du référentiel d'entraînement autour d'un axe fixe du référentiel absolu

Changement de référentiel de définition de la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle, formule de Bour

Position du problème

Formule de Bour

Énoncé de la formule de Bour

Démonstration dans le cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels

Notes et références

Menu de navigation

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Changement de référentiels

Position du problème

Cas d'un entraînement de translation

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de translation

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre

Cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Établissement de la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu et en utilisant (partiellement) la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Autre façon d'établir la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu par utilisation exclusive de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Établissement intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Établissement non intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu, en utilisant la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Cas particulier très fréquent : entraînement de rotation uniforme du référentiel d'entraînement autour d'un axe fixe du référentiel absolu

Changement de référentiel de définition de la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle, formule de Bour

Position du problème

Formule de Bour

Énoncé de la formule de Bour

Démonstration dans le cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels

Notes et références

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