Probabilités conditionnelles/Exercices/Sur les événements indépendants

Exercice 4-1

Soit une télévision qui n'est pas protégée contre les surtensions dues aux orages.

On définit alors deux événements $A$ et $B$ ainsi :

Une télévision qui tombe en panne ne peut logiquement pas déclencher un orage. Par conséquent, on a :

p_{B} (A) = p (A)

,

ce qui s'écrit :

\frac{p (A \cap B)}{p (B)} = p (A)

,

qui est équivalent à :

\frac{p (A \cap B)}{p (A)} = p (B)

,

qui s'écrit aussi :

p_{A} (B) = p (B)

,

qui nous montre qu'un orage n’influe pas sur la probabilité que la télévision tombe en panne.

Il est donc inutile de protéger la télévision contre les surtensions dues aux orages.

Que pensez-vous du raisonnement précédent ?

Soit deux événements $A$ et $B$ vérifiant :

${\begin{matrix} p (A) = 0, 8 \\ p (B) = 0, 6 \\ p (A \cup B) = 0, 92 \end{matrix}$

Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Une expérience aléatoire peut être modélisée par l'arbre pondéré suivant :

$p, r, s$ étant trois nombres réels de l'intervalle $[0; 1]$

Soit $A^{'}$ , l'événement « $A$ est réalisé au moins une fois au cours de l'expérience aléatoire ».

Soit $B^{'}$ , l'événement « $B$ est réalisé au moins une fois au cours de l'expérience aléatoire ».

Montrer que $A^{'}$ et $B^{'}$ sont indépendants si et seulement si :

$p r (1 - p) (1 - s) = 0$