Probabilités conditionnelles/Événements indépendants

Modèle:Chapitre Nous allons aborder, dans ce chapitre, la notion d'événements indépendants.

Premières considérations

Soit $A$ et $B$ deux événements. Dire que ces deux événements sont indépendants, c'est dire que la réalisation de l'un des deux n'influe pas sur la probabilité de réalisation de l'autre.

C'est dire que la réalisation de $A$ n'influe pas sur la probabilité que $B$ se réalise, ce qui logiquement devrait se traduire par la relation $p_{A} (B) = p (B)$ .

C'est dire aussi que la réalisation de $B$ n'influe pas sur la probabilité que $A$ se réalise, ce qui logiquement devrait se traduire par la relation $p_{B} (A) = p (A)$ .

Mais nous remarquons que :

d'une part : $p_{A} (B) = p (B) \Rightarrow \frac{p (A \cap B)}{p (A)} = p (B) \Rightarrow p (A \cap B) = p (A) \times p (B)$ ;
d'autre part : $p_{B} (A) = p (A) \Rightarrow \frac{p (B \cap A)}{p (B)} = p (A) \Rightarrow p (A \cap B) = p (A) \times p (B)$ .

Nous voyons que les deux relations d'indépendance entraînent la même relation :

p (A \cap B) = p (A) \times p (B)

.

De plus, cette relation présente deux avantages :

elle est symétrique vis-à-vis de $A$ et $B$ ;
elle a un sens même si $p (A)$ ou $p (B)$ est nul (ce qui n'était pas le cas des relations de départ), et elle est toujours réalisée dans ce cas.