Introduction à la théorie des nombres/Formes quadratiques entières

Modèle:Ancre Modèle:Exemple

Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Corollaire Modèle:Démonstration déroulante Modèle:CfExo Modèle:Attention

Typologie

Lorsqu'on s'intéresse à l'ensemble des entiers représentés par $a x^{2} + b x y + c y^{2}$ , il est naturel de mettre en facteur $pgcd (a, b, c)$ . Modèle:Définition

Modèle:Exemple On introduit de plus la classification suivante (issue de celle des formes réelles) :

Modèle:Remarque Il reste donc à étudier les formes définies positives et les formes indéfinies non isotropes (en se limitant, si on le souhaite, à celles qui sont primitives). Modèle:Définition La théorie de la réduction, essentiellement due à Gauss^[1], va permettre de montrer que le nombre de classes est fini.

Réduction des formes définies positives

On étudie donc ici le cas $d < 0$ et $a, c > 0$ . Modèle:Définition Autrement dit : $q$ est réduite si $- a < b \leq a < c$ ou $0 \leq b \leq a = c$ .

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Modèle:CfExo Modèle:Remarque

Réduction des formes indéfinies anisotropes

Dans le cas des formes indéfinies anisotropes ( $d > 0$ non carré), on pourrait choisir les mêmes définition et algorithme que pour $d < 0$ en remplaçant $a, c$ par leurs valeurs absolues, mais on perdrait l'unicité.

Cependant, avec le même genre de définition et d'algorithme que pour la fraction continue (périodique) d'un irrationnel quadratique, Gauss obtient « presque » l'unicité :