Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires

Exercice 1

(Récurrence linéaire d'ordre 3)

Soit $P(X)=X^3-a{X}^2-bX-c\in \mathbb{Z}[X]$, de racines complexes $\alpha ,\beta ,\gamma$ (non nécessairement distinctes). On pose $u_n={\alpha }^n+{\beta }^n+{\gamma }^n$. Montrer que :

1. $u_0,u_1,u_2\in \mathbb{Z}$ ;
2. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{\alpha }^{n+3}=a{\alpha }^{n+2}+b{\alpha }^{n+1}+c{\alpha }^n$ ;
3. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_n\in \mathbb{Z}$.

Exercice 2

Soit $x$ une suite numérique vérifiant une relation de récurrence de la forme

$x_{n+2}=S{x}_{n+1}-P{x}_n$.

On pose $y_n=x_{2n}$ et $z_n=x_n^2$.

1. En supposant $S^2\ne 4P$, trouver une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 vérifiée par $y$ et une relation de récurrence linéaire d'ordre 3 vérifiée par $z$, et montrer que cette dernière est aussi vérifiée par $y$.
2. Redémontrer directement ces résultats sans supposer $S^2\ne 4P$.
3. Application : soient $u$ et $v$ deux suites vérifiant :

   $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+2}=S{u}_{n+1}-P{u}_n\text{et}{v}_{n+2}=s{v}_{n+1}-p{v}_n$,

   avec $S=s^2-2p$ et $P=p^2$. On suppose qu'il existe des constantes $a,b,c,d$ telles que la relation

   $a{u}_n^2+b{v}_{2n}^2+c{u}_{2n}+d{v}_{4n}=0$

   soit vérifiée pour $n\in \{0,1,2\}$. Montrer qu'elle l'est alors pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Exercice 3

Soit $x$ une suite numérique vérifiant une relation de récurrence de la forme

$x_{n+2}=S{x}_{n+1}-P{x}_n$.

On suppose que $S^2\ne 4P$ et $x_0=0$.

Montrer qu'il existe des constantes $A$, $B$ et $C$ telles que $x_{n+1}^3+A{x}_n^3+B{x}_{n-1}^3=C{x}_{3n}$ (pour tout $n\ge 1$). Modèle:Solution

Exercice 4

Soit $x$ une suite numérique. On pose $y_j=x_{j+1}^2-x_j{x}_{j+2}$ et $z_j=x_j{x}_{j+3}-x_{j+1}{x}_{j+2}$.

1. On suppose : $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}{x}_{k+2}-S{x}_{k+1}+P{x}_k=0(*)$.
   1. Montrer que la suite $y$ est géométrique et que $z=-Sy$.
   2. En déduire : $\mathrm{\forall }i\ge 4x_i{y}_{i-4}+x_{i-1}{z}_{i-4}+x_{i-2}{y}_{i-3}=0(**)$.
2. Réciproquement, on suppose, pour un certain $n\ge 4$, que $(**)$ est vérifiée pour $4\le i\le n$. On suppose de plus $y_0\ne 0$ et, si $n>4$, $P\ne 0$.
   Montrer que si $(*)$ est vérifiée pour $k=0$ et $k=1$, alors elle l'est pour tout $k\le n-2$.