Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Nombres équivalents

Modèle:Devoir Ce devoir est lié au [[../../Approximation diophantienne et fractions continues|chapitre 2 : Approximation diophantienne et fractions continues]].

Modèle:Wikipédia On note $\sim$ la relation d'équivalence sur les irrationnels « avoir un quotient complet commun ».

Autrement dit, si deux irrationnels $x=[a_0,a_1,\dots ]$ et $y=[b_0,b_1,\dots ]$ ont pour suites de quotients complets $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ :

$x\sim y⟺\mathrm{\exists }r,s\in \mathbb{N}{x}_r=y_s$.

1°)  Justifier brièvement les deux propriétés suivantes :

a)  avec les mêmes notations : $x_r=y_s⟺\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}{a}_{r+k}=b_{s+k}⟺\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}{x}_{r+k}=y_{s+k}$ ;

b)  pour tout irrationnel $x$ :Modèle:Encadre

2°)  On considère d'autre part l'action, sur l'ensemble des irrationnels, du groupe $G:={\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Z})$ (les matrices $2\times 2$ à coefficients entiers et de déterminant $\pm 1$), donnée, pour tout irrationnel $x$, par :

$\mathrm{\forall }M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in GM\cdot x=\frac{ax+b}{cx+d}$.

Démontrer que (pour tous irrationnels $x$ et $y$) :

$\text{si}x\sim y\text{alors}\mathrm{\exists }M\in Gy=M\cdot x$.

La suite de l'exercice va consister à démontrer la réciproque, à l'aide du lemme 1 ci-dessus et des lemmes 2 et 3 suivants, élémentaires donc admis : pour tout irrationnel $x$,

(Le lemme 2 est démontré dans l'[[../../Exercices/Approximation diophantienne et fractions continues#Exercice 2-11|exercice 2-11]].)

3°)  Soient $x,y$ deux irrationnels dans la même orbite pour l'action de $G$. Il existe donc $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ tels que

$ad-bc=\pm 1\text{et}y=\frac{ax+b}{cx+d}$.

Montrer qu'on peut même choisir $a,b,c,d$ tels que de plus, $(c,d)=(0,1)$ ou $c>0$.

4°)  Montrer que si $(c,d)=(0,1)$ alors $y\sim x$ (utiliser les lemmes 1 et 2).

5°)  On étudie maintenant le second cas : $c>0$. On choisit alors, parmi les deux développements du rationnel $\frac{a}{c}$ en fraction continue finie, celui dont la longueur $n$ est de parité telle que

$ad-bc=(-1{)}^n$.

On le note

$\frac{a}{c}=[a_0,\dots ,a_{n-1}]$.

et l'on note $h_i,k_i$ (pour $i<n$) les numérateurs et dénominateurs des réduites associées.

Démontrer successivement :

a)  $a=h_{n-1}$ et $c=k_{n-1}$ ;

b)  $\mathrm{\exists }r\in \mathbb{Z}b=r{h}_{n-1}+h_{n-2}\text{et}d=r{k}_{n-1}+k_{n-2}$ ;

c)  $\frac{ax+b}{cx+d}=[a_0,\dots ,a_{n-1},x+r]$ ;

d)  et enfin (en utilisant les lemmes 1 et 3) : $y\sim x$.