Expressions algébriques/Compléments sur les racines

Modèle:Chapitre Même si ce n'est pas précisé, les variables sont censées avoir des valeurs telles que les expressions algébriques sous les racines soient positives ou nulles (non négatives).

Identités remarquables

Cette identité est intéressante dans le cas particulier où il existe un rationnel positif $d$ tel que :

$a^2-c=d^2$.

Elle s'écrit alors :

$\sqrt{a+\epsilon \sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+d}{2}}+\epsilon \sqrt{\frac{a-d}{2}}$

et nous voyons que nous avons transformé des racines superposées en racines juxtaposées.

Dans la pratique, nous procéderons un peu différemment. Ce qui est important, c'est de vérifier que $a^2-c$ est un carré dans l'expression $\sqrt{a\pm \sqrt{c}}$. À partir de là, nous savons que la transformation est possible.

Il est à remarquer que l'expression peut aussi se présenter sous la forme :

$\sqrt{a\pm b\sqrt{c}}$

avec $b>0$, cette expression peut se mettre sous la forme :

$\sqrt{a\pm \sqrt{b^{2}c}}$

et nous devons vérifier que $a^2-b^{2}c$ est un carré.

Pour faire la transformation, nous utiliserons alors l'identité remarquable suivante :

${(A\pm B)}^2=A^2\pm 2AB+B^2$.

Donnons quelques exemples pour bien comprendre :

Racines cubiques

La racine cubique d'un nombre $a$ est le nombre qui, élevé au cube, donne $a$.

si :

$b^3=a$

alors :

$a=\sqrt[3]{b}$

Plus généralement :

$\sqrt[3]{a^3}=a$

(alors que l'on avait $\sqrt{a^2}=|a|$).

Encore plus généralement :

$\sqrt[3]{a^{3}b}=a\sqrt[3]{b}$.

Les autres propriétés sont similaires à celles des racines carrées. Par exemple :

$\sqrt[3]{a}\times \sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a}b$

$\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$

qui peuvent être appliquées même si $a$ ou $b$ est négatif.

Rationalisation des dénominateurs

Nous allons, dans ce paragraphe, étudier la façon de faire disparaître les racines des expressions algébriques se trouvant aux dénominateurs des fractions. Cette opération a déjà fait l'objet de leçons de niveau inférieur dans les cas simples où les dénominateurs contenaient une ou deux racines carrées. Qu'il soit bien précisé que la présence de racines aux dénominateurs n’offense en rien la rigueur mathématique. La seule raison que l'on peut avoir de préférer avoir des racines au numérateur plutôt qu'au dénominateur apparaît lorsque l'on fait la somme de plusieurs fractions. Comme cette opération nécessite la recherche d'un dénominateur commun, celle-ci est souvent facilitée s'il n'y a pas de racine au dénominateur.

Pour faire disparaître les racines d'un dénominateur, la méthode utilisée est de multiplier le numérateur et le dénominateur par une même expression. Cette expression étant la plus simple possible et telle que son produit par le dénominateur donne un résultat sans racine.

Dénominateurs avec une racine carrée

Soit une fraction pouvant s'écrire sous la forme :

$\frac{E}{\sqrt{R}}$,

$R$ étant une expression algébrique sans racines.

En multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{R}$, nous obtenons :

$\frac{E\sqrt{R}}{R}$.

Dénominateurs avec deux racines carrées

Soit une fraction pouvant s'écrire sous la forme :

$\frac{E}{\sqrt{R}\pm \sqrt{S}}$,

$R$ et $S$ étant des expressions algébriques sans racines.

L'identité remarquable :

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

nous donne :

$(\sqrt{R}-\sqrt{S})(\sqrt{R}+\sqrt{S})=R-S$.

Si l'expression se présente sous la forme :

$\frac{E}{\sqrt{R}+\sqrt{S}}$,

en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{R}-\sqrt{S}$, nous obtenons :

$\frac{E(\sqrt{R}-\sqrt{S})}{R-S}$.

Si l'expression se présente sous la forme :

$\frac{E}{\sqrt{R}-\sqrt{S}}$,

en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{R}+\sqrt{S}$, nous obtenons :

$\frac{E(\sqrt{R}+\sqrt{S})}{R-S}$.

Dénominateurs avec trois racines carrées

Soit une fraction pouvant s'écrire sous la forme :

$\frac{E}{\sqrt{R}\pm \sqrt{S}\pm \sqrt{T}}$,

$R$, $S$ et $T$ étant des expressions algébriques sans racines.

Nous avons, en fait, quatre cas à considérer :

$\frac{E}{\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T}}\frac{E}{\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T}}\frac{E}{\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T}}\frac{E}{\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T}}$.

En faisant le produit des quatre dénominateurs, nous obtenons :

$(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T})=2RS+2RT+2ST-R^2-S^2-T^2$

et nous voyons qu'il n'y a plus de racines dans le résultat.

Pour chaque cas, nous multiplierons donc le numérateur et le dénominateur par ce qui manque au dénominateur pour avoir la relation précédente.

Premier cas

$\begin{array}{cc}\frac{E}{\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T}}& =\frac{E(\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T})}{(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T})}\\ & =\frac{E(\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T})}{2RS+2RT+2ST-R^2-S^2-T^2}\end{array}$

Deuxième cas

$\begin{array}{cc}\frac{E}{\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T}}& =\frac{E(\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T})}{(\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T})}\\ & =\frac{E(\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T})}{2RS+2RT+2ST-R^2-S^2-T^2}\end{array}$

Troisième cas

$\begin{array}{cc}\frac{E}{\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T}}& =\frac{E(\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T})}{(\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T})}\\ & =\frac{E(\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T})}{2RS+2RT+2ST-R^2-S^2-T^2}\end{array}$

Quatrième cas

$\begin{array}{cc}\frac{E}{\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T}}& =\frac{E(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T})}{(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T})}\\ & =\frac{E(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T})(\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T})(\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T})}{2RS+2RT+2ST-R^2-S^2-T^2}\end{array}$

Dénominateurs avec quatre racines carrées

Soit une fraction pouvant s'écrire sous la forme :

$\frac{E}{\sqrt{R}\pm \sqrt{S}\pm \sqrt{T}\pm \sqrt{U}}$,

$R$, $S$, $T$ et $U$ étant des expressions algébriques sans racines.

En faisant le produit des huit dénominateurs, nous obtenons :

$\begin{array}{cc}(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T}+\sqrt{U})(\sqrt{R}+\sqrt{S}+\sqrt{T}-\sqrt{U})& (\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T}+\sqrt{U})(\sqrt{R}+\sqrt{S}-\sqrt{T}-\sqrt{U})\\ & (\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T}+\sqrt{U})(\sqrt{R}-\sqrt{S}+\sqrt{T}-\sqrt{U})(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T}+\sqrt{U})(\sqrt{R}-\sqrt{S}-\sqrt{T}-\sqrt{U})\\ & ={[(R+S-T-U{)}^2+4RS-4TU]}^2-16(R+S-T-U{)}^{2}EF.\end{array}$

On procédera donc comme dans le cas avec trois racines. C'est-à-dire que l'on multipliera le numérateur et le dénominateur avec ce qui manque au dénominateur pour pouvoir appliquer la relation précédente.

Dénominateurs avec deux racines cubiques

Soit une fraction pouvant s'écrire sous la forme :

$\frac{E}{\sqrt[3]{R}\pm \sqrt[3]{S}}$

$R$ et $S$ étant des expressions algébriques sans racines.

Nous utiliserons les identités remarquables :

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$

$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

qui nous donnent :

$(\sqrt[3]{R}+\sqrt[3]{S})(\sqrt[3]{R^2}-\sqrt[3]{RS}+\sqrt[3]{S^2})=R+S$ ;

$(\sqrt[3]{R}-\sqrt[3]{S})(\sqrt[3]{R^2}+\sqrt[3]{RS}+\sqrt[3]{S^2})=R-S$.

Si l'expression se présente sous la forme :

$\frac{E}{\sqrt[3]{R}+\sqrt[3]{S}}$,

en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt[3]{R^2}-\sqrt[3]{RS}+\sqrt[3]{S^2}$, nous obtenons :

$\frac{E(\sqrt[3]{R^2}-\sqrt[3]{RS}+\sqrt[3]{S^2})}{R+S}$.

Si l'expression se présente sous la forme :

$\frac{E}{\sqrt[3]{R}-\sqrt[3]{S}}$,

en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt[3]{R^2}+\sqrt[3]{RS}+\sqrt[3]{S^2}$, nous obtenons :

$\frac{E(\sqrt[3]{R^2}+\sqrt[3]{RS}+\sqrt[3]{S^2})}{R-S}$.

Dénominateurs avec trois racines cubiques

Soit une fraction pouvant s'écrire sous la forme :

$\frac{E}{\sqrt[3]{R}+\sqrt[3]{S}+\sqrt[3]{T}}$

$R$, $S$ et $T$ étant des expressions algébriques sans racines.

Nous nous ramènerons au cas de deux racines cubiques grâce à l'identité remarquable :

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=a^3+b^3+c^3-3abc$

Nous laissons le lecteur vérifier la justesse de cette identité remarquable.

Racine nième d'un nombre

La racine nième d'un nombre $a$ est le nombre qui, élevé à la puissance $n$, donne $a$.

si :

$b^n=a$

alors :

$a=\sqrt[n]{b}$

Si $n$ est pair, les propriétés sont semblables à celle de la racine carrée. Par exemple :

$\sqrt[n]{a^{n}b}=|a|\sqrt[n]{b}$.

Si $n$ est impair, les propriétés sont semblables à celle de la racine cubique. Par exemple :

$\sqrt[n]{a^{n}b}=a\sqrt[n]{b}$.

Exposants rationnels

Si $a$ est un nombre positif et si $p$ et $m$ sont des entiers positifs, on pose par définition :

$a^{\frac{p}{m}}=\sqrt[m]{a^p}$

Si $q$ est un nombre rationnel, on pose aussi :

$a^{-q}=\frac{1}{a^q}$

On montre que les exposants rationnels vérifient les mêmes règles que les exposants entiers relatifs, à savoir :

Si $a,b,c$ sont des nombres positifs et si $x,y$ sont des nombres rationnels :

$a^x.a^y=a^{x+y}$

${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$

$(abc{)}^x=a^x{b}^x{c}^x$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^x=\frac{a^x}{b^x}$