Intégration de Riemann/Devoir/Un problème variationnel

Dans l'espace euclidien ${ℝ}^3$, on cherche la forme d'un film de savon qui s'appuie sur les deux cercles parallèles de rayon $R$, d'axe $Ox$, et centrés en $(\pm d,0,0)$. On admet que la surface cherchée, si elle existe, a une symétrie de révolution. Elle est alors décrite par sa trace $\{(x,f(x),0)\mid x\in [-d,d]\}$ dans le demi-plan $ℝ\times {ℝ}_{+}\times \{0\}$. On admet de plus que $f$ est de classe CModèle:Exp. Le film a la propriété de minimiser son aire, égale à $2\pi S_f$ avec :

$S_f:=\underset{-d}{\overset{d}{\int }}f(x)\sqrt{1+{f^{\prime }(x)}^2}\mathrm{d}x$.

1. Soit $g$ une fonction CModèle:Exp sur $[-d,d]$ qui s'annule aux extrémités. Pour $\lambda \in ℝ$, on note $S(\lambda )=S_{f+\lambda g}$. Justifier que $S$ est dérivable en $0$ puis, que $S^{\prime }(0)=0$.
2. Calculer $S^{\prime }(0)$. On pose $\varphi =\frac{f{f}^{\prime }}{\sqrt{1+{f^{\prime }(x)}^2}}$. Montrer que $S^{\prime }(0)=\underset{-d}{\overset{d}{\int }}g(x)(\sqrt{1+{f^{\prime }(x)}^2}-{\varphi }^{\prime }(x))\mathrm{d}x$.
3. En déduire que $\sqrt{1+{f^{\prime }}^2}={\varphi }^{\prime }$.
4. Vérifier que les fonctions de la forme $f_A:x\mapsto A\cosh (x/A)$ sont solutions de l'équation différentielle sur $f$ qui traduit l'égalité précédente.
5. Quelle condition doit satisfaire $A$ pour que $f_A$ soit effectivement solution du problème physique ?
6. Quelle est l'allure du graphe de $\psi :A\mapsto A\cosh (d/A)$ ? (On pourra étudier le signe de ${\psi }^{″}$.)
7. On admet que si $f$ existe, elle est nécessairement de la forme $f_A$. Existe-t-il toujours un film de savon qui s'appuie sur les deux cercles ?