Échantillonnage et estimation pour le bio-médical/Tests d'homogénéité

Les tests d'homogénéité permettent de s'assurer que deux échantillons ont bien été extrait d'une même population. Dans les tests d'homogénéité les paramètres de la population sont inconnus donc ne figure pas dans les formules.

Comparaison des moyennes de deux échantillons indépendants.

Soit deux échantillons.

Le premier d'effectif $n_1$, de moyenne ${\overline{x}}_1$ et écart-type $s_{e1}$.

Le deuxième d'effectif $n_2$, de moyenne ${\overline{x}}_2$ et écart-type $s_{e2}$.

Le problème que l'on se propose de résoudre est : Ces deux échantillons ont-ils été extraits d'une même population ?

Mise en place du test.

Soit $H_0$, l'hypothèse : Les deux échantillons ont été extraits d'une même population.

Soit $H_1$, l'hypothèse : Les deux échantillons proviennent de populations différentes.

Soit $s_1$ l'estimation de l'écart-type de la population d'où a été extrait le premier échantillon.

$s_1=s_{e1}\sqrt{\frac{n_1}{n_1-1}}$

Soit $s_2$ l'estimation de l'écart-type de la population d'où a été extrait le deuxième échantillon.

$s_2=s_{e2}\sqrt{\frac{n_2}{n_2-1}}$

Soit ${\overline{X}}_1$ la variable aléatoire qui prend pour valeur les moyennes du premier échantillon.

Soit ${\overline{X}}_2$ la variable aléatoire qui prend pour valeur les moyennes du deuxième échantillon.

Nous admettrons le théorème suivant :

Si l'hypothèse $H_0$ est vraie et si $n_1⩾30$ et $n_2⩾30$, la variable aléatoire $U$ définie par :

$U=\frac{{\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$

suit sensiblement une loi normale centrée réduite.

Pour faire le test, on procédera donc ainsi :

On calcule la valeur $u$ est définie par :

$u=\frac{{\overline{x}}_1-{\overline{x}}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$

Si $u\in [-t_{\alpha };t_{\alpha }]$, on accepte l'hypothèse $H_0$.

Si $u\in ̸[-t_{\alpha };t_{\alpha }]$, on rejette l'hypothèse $H_0$.

On rappelle que :

$t_{\alpha }=1,96$ pour $\alpha =0,05$.

$t_{\alpha }=2,576$ pour $\alpha =0,01$.

$\alpha$ est le risque de première espèce.

Remarque : Les cas $n_1<30$ ou $n_2<30$ sont plus délicats et seront donc étudiés dans une leçon de niveau supérieur.

Modèle:Encart

Comparaison des fréquences des deux échantillons différents.

Soit deux échantillons.

On observe sur le premier échantillon d'effectif $n_1$ un caractère avec une fréquence $f_1$.

On observe sur le deuxième échantillon d'effectif $n_2$ le même caractère avec une fréquence $f_2$.

Le problème que l'on se propose de résoudre est :

Ces deux échantillons ont-ils été extraits d'une même population ?

Mise en place du Test.

Soit $H_0$, l'hypothèse : Les deux échantillons ont été extrait d'une même population.

Soit $H_1$, l'hypothèse : Les deux échantillons proviennent de populations différentes.

Soit $F_1$ la variable aléatoire qui prend pour valeur les fréquences du caractère sur le premier échantillon.

Soit $F_2$ la variable aléatoire qui prend pour valeur les fréquences du caractère sur le deuxième échantillon.

Nous admettrons le théorème suivant :

Si l'hypothèse $H_0$ est vraie et si $n_1⩾30$ et $n_2⩾30$, la variable aléatoire $U$ définie par :

$U=\frac{F_1-F_2}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_1}+\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_2}}}$

suit sensiblement une loi normale centrée réduite.

$\hat{p}$ étant l'estimation de $p$, fréquence sur la population.

$\hat{p}$ est donnée par la formule :

$\hat{p}=\frac{n_1{f}_1+n_2{f}_2}{n_1+n_2}$.

Pour faire le test, on procédera donc ainsi :

On calcule d'abord $\hat{p}$ :

$\hat{p}=\frac{n_1{f}_1+n_2{f}_2}{n_1+n_2}$.

On calcule ensuite la valeur $u$ définie par :

$u=\frac{f_1-f_2}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_1}+\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_2}}}$.

Si $u\in [-t_{\alpha };t_{\alpha }]$, on accepte l'hypothèse $H_0$.

Si $u\in ̸[-t_{\alpha };t_{\alpha }]$, on rejette l'hypothèse $H_0$.

On rappelle que :

$t_{\alpha }=1,96$ pour $\alpha =0,05$.

$t_{\alpha }=2,576$ pour $\alpha =0,01$.

$\alpha$ est le risque de première espèce.

Remarque : Les cas $n_1<30$ ou $n_2<30$, On ne peut rien dire.

Modèle:Encart

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