Dérivation/Développement limité d'ordre 1

Nous allons étudier dans ce chapitre le développement limité d'une fonction en un point de son domaine de dérivabilité.

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable en un réel $x_0$ de son domaine de définition. Soit $a$ son nombre dérivé en $x_0$. On définit alors une fonction $\epsilon$, dont la variable sera notée $h$, par :

$\epsilon (h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-a$.

Nous voyons immédiatement que :

$\underset{h\to 0}{\lim }\epsilon (h)=\underset{h\to 0}{\lim }[\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-a]=a-a=0$.

D'autre part, nous voyons que :

$\begin{array}{cc}\epsilon (h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-a& \iff \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=a+\epsilon (h)\\ & \iff f(x_0+h)-f(x_0)=ah+h\epsilon (h)\\ & \iff f(x_0+h)=f(x_0)+ah+h\epsilon (h).\end{array}$

Par définition, nous dirons que $f(x_0)+ah+h\epsilon (h)$ est le développement limité d'ordre 1 de la fonction $f$ en $x_0$.

Nous poserons alors la définition suivante : Modèle:Définition Toute fonction dérivable en un point $x_0$ admet donc un développement limité d'ordre 1 en $x_0$.

Visualisation graphique

De façon à mieux visualiser ce qu'est un développement limité d'ordre 1, nous allons étudier le graphique représenté à droite. Sur ce graphique, nous avons représenté une portion de courbe représentative d'une fonction et au point

$M$

d'abscisse

$x_0$

nous avons tracé la tangente à la courbe. Nous avons ensuite représenté une verticale coupant l'axe des abscisses en un point

$A$

d'abscisse

$x_0+h$

. Cette verticale recoupe la tangente et la courbe respectivement en

$C$

et en

$D$

. Nous avons ensuite représenté trois horizontales passant respectivement par

$M$

,

$C$

et

$D$

, l'horizontale passant par

$M$

recoupe la verticale en

$B$

.

Nous pouvons alors écrire :

$\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}$.

Sur le schéma, nous voyons immédiatement que :

$\overline{AB}=f(x_0)$ et $\overline{AD}=f(x_0+h)$.

Pour le calcul $\overline{BC}$, nous pouvons considérer le triangle $MBC$ rectangle en $B$. Nous savons que le coefficient directeur d'une droite est la tangente de l'angle entre cette droite et l'horizontale. Nous avons donc :

$\tan \widehat{BMC}=\frac{\overline{BC}}{\overline{MB}}=\frac{\overline{BC}}{h}$.

Nous savons aussi que le coefficient directeur est donné par $a$, le nombre dérivé de la fonction en $x_0$ ; nous obtenons donc :

$a=\frac{\overline{BC}}{h}$,

ce qui nous donne :

$\overline{BC}=ah$.

En reportant tout ce que nous avons trouvé dans :

$\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}$,

nous obtenons :

$f(x_0+h)=f(x_0)+ah+\overline{CD}$

et là, une simple comparaison avec la formule :

$f(x_0+h)=f(x_0)+ah+h\epsilon (h)$

nous montre que :

$\overline{CD}=h\epsilon (h)$.

Nous avons représenté toutes les valeurs que nous avons calculées sur le dessin.

Approximation affine

Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$. Nous avons vu que cette fonction admet un développement en $x_0$ et nous pouvons écrire :

$f(x_0+h)=f(x_0)+ah+h\epsilon (h)$ avec $\underset{h\to 0}{\lim }\epsilon (h)=0$

Si nous regardons de plus près ce développement, nous voyons que nous pouvons le considérer comme une fonction d'une variable $h$ pouvant s'écrire comme somme de deux fonctions :

• d'une part, nous avons la fonction $h\mapsto f(x_0)+ah$ qui est une fonction affine ;
• d'autre part, nous avons la fonction $h\mapsto h\epsilon (h)$ qui représente l'écart entre la fonction $f$ et la fonction $h\mapsto f(x_0)+ah$.

Cela signifie que si l'on remplace la fonction $f$ par la fonction $h\mapsto f(x_0)+ah$, on commet une erreur donnée par une fonction $e$ définie pour tout $h$ par :

$e(h)=|h\epsilon (h)|$.

Ce qui est remarquable dans cette erreur, c'est quelle s'exprime comme une valeur absolue du produit de deux fonctions qui tendent vers $0$ lorsque $h$ tend vers $0$. Nous pouvons alors penser que pour $h$ suffisamment proche de $0$ l'erreur sera très faible.

On dira donc que l'on fait une approximation affine de la fonction $f$ lorsque l'on substituera à celle-ci la fonction $h\mapsto f(x_0)+ah$.

Exemple d'approximations affines

Premier exemple

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=x^n$. Sa fonction dérivée étant définie par $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$, son développement limité en $x_0$ sera alors :

$(x_0+h{)}^n=x_0^n+nh{x}_0^{n-1}+h\epsilon (h)$ avec $\underset{h\to 0}{\lim }\epsilon (h)=0$.

Pour $h$ suffisamment petit, nous aurons alors $(x_0+h{)}^n\simeq x_0^n+nh{x}_0^{n-1}$.

En particulier, si $x_0=1$ et $h=x$, on obtient la formule :

$(1+x{)}^n\simeq 1+nx$ si $x$ proche de $0$,

formule qui était bien connue des physiciens avant l'invention de la calculatrice.

Deuxième exemple

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$. Sa fonction dérivée étant définie par $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, son développement limité en $x_0$ sera alors :

$\sqrt{x_0+h}=\sqrt{x_0}+\frac{h}{2\sqrt{x_0}}+h\epsilon (h)$ avec $\underset{h\to 0}{\lim }\epsilon (h)=0$.

Pour $h$ suffisamment petit, nous aurons alors $\sqrt{x_0+h}\simeq \sqrt{x_0}+\frac{h}{2\sqrt{x_0}}$.

En particulier, si l'on pose $x_0=1$ et $h=x$, on obtient la formule :

$\sqrt{1+x}\simeq 1+\frac{x}{2}$ si $x$ proche de $0$,

formule qui était aussi bien connue des physiciens avant l'invention de la calculatrice.

Troixième exemple

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{1}{x}$. Sa fonction dérivée étant définie par $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$, son développement limité en $x_0$ sera alors :

$\frac{1}{x_0+h}=\frac{1}{x_0}-\frac{h}{x_0^2}+h\epsilon (h)$ avec $\underset{h\to 0}{\lim }\epsilon (h)=0$.

Pour $h$ suffisamment petit, nous aurons alors $\frac{1}{x_0+h}\simeq \frac{1}{x_0}-\frac{h}{x_0^2}$.

En particulier, si l'on pose $x_0=1$ et $h=x$, on obtient la formule :

$\frac{1}{1+x}\simeq 1-x$ si $x$ proche de $0$,

formule qui était, elle aussi, bien connue des physiciens avant l'invention de la calculatrice.

Différentiabilité

Nous poserons la définition suivante : Modèle:Définition

Nous avons la propriété suivante :

Modèle:Encart

Modèle:Bas de page