Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, intégrales et suites

Modèle:Clr On note $f_0$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f_0(x)=e^{-x^2}$, et $f_n$ la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f_n(x)=x^n{e}^{-x^2},n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

— Ⅰ —

1°  Pour tout naturel $n$, on pose :

$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_n(x)\mathrm{d}x$.

Montrez que la suite $(I_n)$ est décroissante et positive.

On admettra que toute suite décroissante et positive est convergente.

On notera $l$ la limite de la suite $(u_n)$.

2°  Trouvez une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+2}$.

Déduisez-en la valeur de $l$.

— Ⅱ —

1°  Étudiez les variations de $f_n$ selon les valeurs de $n$.

Précisez, en particulier, les cas $n=0,n=1,n=2,n=3$.

2°  Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. On note ${𝒞}_n$ la courbe représentant $f_n$ dans ce repère.

a)  En quels points la courbe ${𝒞}_n$ a-t-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ?

b)  Déterminez, pour les valeurs $0,1,2,3,$ de $n$, les abscisses des points en lesquels la dérivée seconde $f_n^{{\text{'}}^{\prime }}$ s'annule et change de signe.

c)  Montrez que toutes les courbes ${𝒞}_n(n⩾0)$ ont un point commun et un seul, que l’on notera A,

que toutes les courbes ${𝒞}_{2p}(p⩾0)$, ont exactement deux points communs, A et un autre que l’on notera B,

et montrez que toutes les courbes ${𝒞}_{2p+1}(p⩾0)$, ont exactement trois points communs A, O, et un autre que l'on notera C.

d)  Précisez la position relative de deux courbes ${𝒞}_n$ et ${𝒞}_m$ restreintes à $[0;+\mathrm{\infty }[$.

e)  Tracez sur un même dessin les courbes ${𝒞}_0$, ${𝒞}_1$, ${𝒞}_2$.

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