Mathématiques en terminale générale/Devoir/Intégrales et bijections

Modèle:Clr $f$ est la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

Le but du problème est l'étude de la primitive de $f$ sur $ℝ$ qui s'annule en zéro.

On notera $F$ cette primitive.

— Ⅰ —

1°  Étudier la fonction $f$ et représentez-la graphiquement dans un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

2°  Écrivez $F(x)$ sous forme d'une intégrale.

Quel est le sens de variation de $F$ ? $F$ est-elle paire ? impaire ?

Justifier vos réponses.

3°  a)  Vérifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[1;+\mathrm{\infty }[$,

$\frac{1}{1+t^2}⩽\frac{1}{t^2}$,

et déduisez-en que pour tout réel $x⩾1$,

$\underset{1}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t⩽1-\frac{1}{x}$

b)  Montrez que :

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t)\mathrm{d}t⩽1$ et que $F(x)⩽x$ pour tout réel $x⩾0$.

c)  Montrer que pour tout réel $x⩾0,F(x)⩽2$.

d)  On admet le théorème suivant : toute fonction croissante et majorée sur un intervalle I, a une limite finie ou infinie aux extrémité de I.

En utilisant ce théorème, vérifiez que $F$ a une limite en $+\mathrm{\infty }$.

Que pouvez-vous dire de cette limite ?

— Ⅱ —

1°  a)  Montrez que la fonction tangente restreinte à $[0;\frac{\pi }{2}[$ est une bijection de $[0;\frac{\pi }{2}[$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. On note $v$ cette restriction et $v^{-1}$ la bijection réciproque.

b)  On pose $w=F\circ v$.

Prouvez que $w$ est dérivable sur $[0;\frac{\pi }{2}[$ et calculez $w^{\prime }(x)$.

Déduisez-en qu'il existe un nombre $k$ tel que :

Pour tout $x$ de $[0;\frac{\pi }{2}[,w(x)=x+k$.

c)  Calculez $w(0)$ et déduisez-en la valeur de $k$.

d)  Déduisez de cette étude que pour tout $x$ de $[0;\frac{\pi }{2}[,F(v(x))=x$,

puis que pour tout $x$ de $[0;+\mathrm{\infty }[,v^{-1}(x)=F(x)$.

Précisez alors la limite de $F$ en $+\mathrm{\infty }$.

2°  Tracez la représentation graphique de $F$ et celle de $v$ dans le même repère orthonormal.

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