Barycentre/Travail pratique/Théorème de l'associativité du barycentre

Activité d’introduction

Démonstration de l'associativité du barycentre

Soient :

• A, B, C trois points
• $\alpha ,\beta ,\gamma$ trois réels vérifiant :
  • $\alpha +\beta \ne 0$
  • $\alpha +\beta +\gamma \ne 0$
• H le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},\alpha );(\mathrm{B},\beta )\}$
• G le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},\alpha );(\mathrm{B},\beta );(\mathrm{C},\gamma )\}$

1. Écrire les définitions vectorielles de ces deux barycentres.

2. En introduisant le point H dans la définition de G, montrer que $(\alpha +\beta )\overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{H}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{C}}=\overrightarrow{0}$

3. En déduire que G est un barycentre des points H et C avec des coefficients à déterminer.

Application

<quiz display="simple"> { Soient :

• A, B et C trois points,
• G le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},2);(\mathrm{B},3);(\mathrm{C},1)\}$,
• H₁ le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},2);(\mathrm{B},3)\}$
• H₂ le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{B},3);(\mathrm{C},1)\}$
• H₃ le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},2);(\mathrm{C},1)\}$

Ces barycentres existent car :

• Pour G : 2+3+1≠0
• Pour H₁ : 2+3 ≠ 0
• Pour H₂ : 3+1 ≠ 0
• Pour H₃ : 2+1 ≠ 0

Alors G est le barycentre des systèmes de points pondérés… | type="{}" }

$\{({\mathrm{H}}_{\mathrm{1}},${ 5_1 }$);(\mathrm{C},${ 1_1 }$)\}$

$\{({\mathrm{H}}_{\mathrm{2}},${ 4_1 }$);(\mathrm{A},${ 2_1 }$)\}$

$\{({\mathrm{H}}_{\mathrm{3}},${ 3_1 }$);(\mathrm{B},${ 3_1 }$)\}$ </quiz>

Ressources liées

Ce chapitre, assez technique, peut faire l’objet d'exercices de niveau 11 ou 12.

Activités

• [[../Associativité du barycentre et moyenne pondérée/]]

Exercices

• [[../Exercices/Isobarycentre du tétraèdre|Isobarycentre du tétraèdre]]