Série numérique/Propriétés

Critère d'Abel

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Remarques

• Ce théorème s'étend (et se démontre de même) au cas où $(v_n)$ est à valeurs dans un espace de Banach $E$ (par exemple $E={ℝ}^n$).
• En particulier (test de Dirichlet), si $(u_n)$ est monotone et de limite nulle alors, pour toute série $\sum v_n$ de sommes partielles bornées, la série $\sum u_n{v}_n$ converge dans $E$. Le cas $E=ℝ$ et $v_n=(-1{)}^n$ est utile pour les séries alternées :

Modèle:Corollaire Ce corollaire immédiat du critère d'Abel peut aussi se démontrer directement : les deux sous-suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ de la suite $(S_n)$ des sommes partielles de la série $\sum (-1{)}^n{u}_n$ sont en effet adjacentes.