Notions de thermodynamique relativiste/Distribution de Maxwell–Jüttner

La distribution de Maxwell–Jüttner est une distribution des vitesses des particules dans un gaz idéal de particules relativistes qui sont diluées , sans interactions entre elles et sans effets quantiques.

Dans cette distribution, on prend en compte l'influence de la relativité restreinte. Cette distribution a été proposée par Ferencz Jüttner en 1911.

À basse température, i.e. quand kT << mc² , cette distribution tend vers la distribution de Maxwell–Boltzmann.

m = masse , c = vitesse de la lumière et k = constante de Boltzmann.

La fonction de distribution

La distribution de Maxwell–Jüttner en fonction du facteur de Lorentz $\gamma$ pour un gaz d'électrons à différentes températures. La vitesse est exprimée par le facteur de Lorentz.

Quand la température du gaz augmente ( kT voisin ou supérieur à mc² ), la probabilité de distribution pour $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ dans ce gaz de Maxwell relativiste est donné par la distribution de Maxwell–Jüttner $f(\gamma )$ telle que:

$f(\gamma )=\frac{{\gamma }^2.\beta }{\theta .K_2(1/\theta )}\exp (-\frac{\gamma }{\theta })$

avec

$\beta =\frac{v}{c}=\sqrt{1-1/{\gamma }^2}$

$\theta =\frac{kT}{m{c}^2}$

$K_2$ est la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce.

$\gamma$ est le facteur de Lorentz.

On peut aussi écrire pour la quantité de mouvement $p$ :

$f(𝐩)=\frac{1}{4\pi m^3{c}^3\theta K_2(1/\theta )}\exp (-\frac{\gamma (p)}{\theta })$

avec

$\gamma (p)=\sqrt{1+{\left(\frac{p}{mc}\right)}^2}$.

Cette fonction correspond au régime relativiste de Juttner (distribution relativiste qui caractérise par exemple l' équilibre thermodynamique d'un plasma relativiste).

Références

• Ferencz Jüttner, Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie, Ann. Physik und Chemie, 34, 856-882 (1911)
• J.L Synge, The Relativistic Gas, Series in physics, North-Holland (1957)
• Slimen Belghit and Abdelaziz Sid, Stabilization effect of Weibel modes in relativistic laser fusion plasma, PHYSICS OF PLASMAS, 23, 063104 (2016)
• Slimen Bleghit et Abdelaziz Sid, Étude relativiste de l’instabilité de Weibel dans le contexte de la fusion inertielle, Edilivre,(2017)