Dérivation/Exercices/Autour de la dérivée

Exercice 3-1

Étudier la dérivabilité sur $ℝ$ de la fonction $f$ définie par :

$f(x)=E(x){\sin }^2(\pi x)$

($E$ désignant la fonction « partie entière »). Modèle:Solution

Exercice 3-2

Étudier la dérivabilité sur $ℝ$ de la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{x}}& \text{si }x>0,\\ 0& \text{sinon.}\end{array}$

Modèle:Solution Les fonctions suivantes, définies sur $ℝ$, sont-elles dérivables en $0$ ?

$f:x\mapsto \sqrt{|x|},g:x\mapsto |x|,h:x\mapsto |x{|}^3$.

Exercice 3-3

Soient $u,v,w,u_1,u_2,\cdots ,u_n$ des fonctions dérivables sur un intervalle, et ne s'annulant pas sur cet intervalle.

1. Pour $y=uv$, calculer $\frac{y^{\prime }}{y}$.
2. Généraliser pour $w=u_1{u}_2\cdots u_n$.
3. En déduire que la dérivée de $u^n$ est $n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$.

Exercice 3-4

On pose :

$P(x)=5x^3+a{x}^2+bx+c$.

1°  Déterminer $k$ pour que :

$\mathrm{\forall }x\in ℝP(x)+k(x-1)P^{\prime }(x)+(x^2-1)P^{″}(x)=0$.

2°  Calculer alors $a,b,c$.

3°  Prouver que $P(x)$ est alors de la forme :

$P(x)=(x-1)Q(x)$

où $Q(x)$ est un polynôme que l'on déterminera.

Exercice 3-5

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme $x^2+px+q$ admette pour racine la racine de son polynôme dérivé. Modèle:Solution

Exercice 3-6

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme $P(x)=x^3+px+q$ soit tel que son polynôme dérivé admette

1. au moins une racine qui soit également racine de $P$ ;
2. deux racines qui soient également racines de $P$.

Exercice 3-7

Déterminer un polynôme $P(x)$ du troisième degré tel que :

$\{\begin{array}{c}{P}^{‴}(x)=6\\ P(x)-\frac{x}{3}{P}^{\prime }(x)+P^{″}(x)=0.\end{array}$

Exercice 3-8

Soient $I\subset ℝ$ tel que $-I=I$, et $f:I\to ℝ$ une fonction dérivable. Prouver que si $f$ est paire alors $f^{\prime }$ est impaire et que si $f$ est impaire alors $f^{\prime }$ est paire. Modèle:Solution

Exercice 3-9

Prouver que si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables en zéro, telles que $f(0)=g(0)=0$ et $g^{\prime }(0)\ne 0$, alors :

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(0)}{g^{\prime }(0)}$.

Exercice 3-10

Démontrer que si f est une fonction dérivable en $x_0$, alors :

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{xf(x_0)-x_{0}f(x)}{x-x_0}=f(x_0)-x_0{f}^{\prime }(x_0)$.

Exercice 3-11

Préciser la fonction $f$ telle que :

$f(x)=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n$.

En déduire une expression de chacune des sommes :

$S(x)=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots +n{x}^{n-1}$ ;

$S_1(x)=2+6x+12x^2+20x^3+\cdots +n(n-1)x^{n-2}$.