Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 3

Exercice 12-1

Démontrer les relations :

1°  $\frac{\sin (a-b)}{\sin a\sin b}+\frac{\sin (b-c)}{\sin b\sin c}+\frac{\sin (c-a)}{\sin c\sin a}=0$ ;

2°  $\frac{\sin 7x}{\sin x}=1+2\cos 2x+2\cos 4x+2\cos 6x$ ;

3°  ${\cos }^2(a+b)+{\cos }^2(a-b)=1+\cos 2a\cos 2b$. Modèle:Solution

Exercice 12-2

Démontrer la relation :

$\frac{\sin 3a+\cos 3a+\sin 5a+\cos 5a+\sin 7a+\cos 7a}{\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a}=\frac{\sqrt{2}\sin (\frac{\pi }{4}+5a)}{\cos 5a}$.

Exercice 12-3

Soient $a,b,c\in ℝ$ tels que $\cos a\cos b\cos c\ne 0$. Démontrer que

$\sin (b+c-a),\sin (c+a-b)\text{et}\sin (a+b-c)$

sont en progression arithmétique si et seulement si

$\tan a,\tan b\text{et}\tan c$

le sont. Modèle:Solution

Exercice 12-4

Transformer en un produit les expressions :

1°  $\cos (a+b+c)+\cos a+\cos b+\cos c$ ;

2°  $\sin (a+b-c)+\sin (b+c-a)+\sin (c+a-b)-\sin (a+b+c)$. Modèle:Solution

Exercice 12-5

On donne $\sin a=b\in ]-1,1[$ et l'on se propose de calculer :

$\cos \frac{a}{2}=x,\sin \frac{a}{2}=y\text{et}\tan \frac{a}{2}=z$.

1°  Montrer que

$(x+y{)}^2=1+b\text{et}(x-y{)}^2=1-b$.

En déduire $x$ et $y$.

2°  Combien obtient-on de solutions pour $x$, pour $y$ et pour $z$ ? Quelles remarques peut-on faire sur ces différentes valeurs ?

3°  Donner une interprétation géométrique des résultats obtenus en montrant que les extrémités des arcs $\frac{a}{2}$ sont les sommets d'un rectangle dont les côtés sont parallèles aux bissectrices des axes de coordonnées.

4°  Application : calculer les lignes trigonométriques de $\frac{17\pi }{12}$ connaissant $\sin \frac{17\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$. Modèle:Solution