Trigonométrie/Exercices/Établissement de formules 1

Exercice 3-1

En remarquant que $\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}$ et $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{12}=\frac{5\pi }{12}$, calculer les fonctions circulaires de $\frac{\pi }{12}$ et $\frac{5\pi }{12}$. Modèle:Solution

Exercice 3-2

1°  a)  Calculer $\cos (a+b+c)$.

b)  En déduire $\cos 3a$ en fonction de $\cos a$

2°  a)  Calculer $\sin (a+b+c)$.

b)  En déduire $\sin 3a$ en fonction de $\sin a$

3°  a)  Calculer $\tan (a+b+c)$.

b)  En déduire $\tan 3a$ en fonction de $\tan a$

Exercice 3-3

1. Démontrer que (pour tout réel $\alpha$) $1+\sin (2\alpha )={(\cos \alpha +\sin \alpha )}^2$.
2. Linéariser ${(\cos \alpha +\sin \alpha )}^4$.

Exercice 3-4

Calculer $\tan 4a$ en fonction de $\tan a$ Modèle:Solution

Exercice 3-5

Démontrer les identités suivantes :

1°  $\cos a\sin (b-c)+\cos b\sin (c-a)+\cos c\sin (a-b)=0$

2°  $\sin a\sin (b-c)+\sin b\sin (c-a)+\sin c\sin (a-b)=0$

3°  $\cos (a+b)\cos (a-b)={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}b={\cos }^{2}b-{\sin }^{2}a$

4°  $\sin (a+b)\sin (a-b)={\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b={\cos }^{2}b-{\cos }^{2}a$ Modèle:Solution

Exercice 3-6

Démontrer les identités suivantes :

1°  $\cot a-\tan a=2\cot 2a$ ;

2°  $\frac{1}{\sin 2a}+\cot 2a=\cot a$. Modèle:Solution

Exercice 3-7

Démontrer les identités suivantes :

1°  $2\cos (a+b)\sin (a-b)=\sin 2a-\sin 2b$

2°  $2\sin (a+b)\sin (a-b)=\cos 2b-\cos 2a$. Modèle:Solution

Exercice 3-8

Démontrer les identités suivantes :

1°  $\sin 3a=4\sin (\frac{\pi }{3}+a)\sin (\frac{\pi }{3}-a)\sin a$ ;

2°  $\cos 3a=4\cos (\frac{\pi }{3}+a)\cos (\frac{\pi }{3}-a)\cos a$ ;

3°  $\tan 3a=\tan (\frac{\pi }{3}+a)\tan (\frac{\pi }{3}-a)\tan a$. Modèle:Solution

Exercice 3-9

Démontrer les identités suivantes :

1°  ${\cos }^{4}a-{\sin }^{4}a=\cos 2a$ ;

2°  ${\cos }^{2}2a-{\sin }^{2}a=\cos a\cos 3a$ ;

3°  $\sin 3a{\sin }^{3}a+\cos 3a{\cos }^{3}a={\cos }^{3}2a$ ;

4°  $4\cos 3a{\sin }^{3}a+4\sin 3a{\cos }^{3}a=3\sin 4a$. Modèle:Solution