Similitude/Devoir/Complexes, suites et similitudes

Modèle:Devoir On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal.

— Ⅰ —

1°  On prend $M_0,M_1$ d'affixes $z_0=0,z_1=1$.

On fixe deux réels : $r>0$ et $\theta \in ℝ\setminus \pi \mathbb{Z}$ et pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, on définit le point $M_{n+1}$ à partir des points $M_{n-1}$ et $M_n$ par :

$\Vert \overrightarrow{M_n{M}_{n+1}}\Vert =r\Vert \overrightarrow{M_{n-1}{M}_n}\Vert$ et $(\overrightarrow{M_{n-1}{M}_n},\overrightarrow{M_n{M}_{n+1}})=\theta$.

On obtient ainsi une suite de points $M_0,M_1,M_2,\cdots ,M_n,\cdots$.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on note $v_n$ l'affixe du vecteur $\overrightarrow{M_n{M}_{n+1}}$ et $z_n$ l'affixe du point $M_n$.

Calculez $v_0$.

2°  a)  Montrez que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, $v_n=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }{v}_{n-1}$.

b)  Déduisez-en, pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, $r$ et $\theta$.

c)  Dans cette question, on suppose $r=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\theta =\frac{\pi }{4}$.

Calculez $v_n$ pour $1\le n\le 3$ et $z_n$ pour $2\le n\le 4$ et placez les points $M_0,M_1,M_2,M_3,M_4,$ en prenant Modèle:Unité pour unité de longueur.

— Ⅱ —

Dans toute la suite du problème, on suppose $0<r<1$.

1°  Pour tout $n\ge 0$, exprimez $v_n$ en fonction de $z_n$ et $z_{n+1}$, déduisez-en que pour tout $n\ge 1,z_n=v_0+v_1+\cdots +v_{n-1}$.

2°  On rappelle que pour tout nombre complexe $z\ne 1$,

$1+z+z^2+\cdots +z^{n-1}=\frac{1-z^n}{1-z}$.

Calculez, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $z_n$ en fonction de $n$, $r$ et $\theta$.

3°  On note $\mathrm{\Omega }$ le point d'affixe $\omega =\frac{1}{1-r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${z_n}^{\prime }$ l'affixe du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }{M}_n}$.

a)  Calculez ${z_n}^{\prime }$ en fonction de $n$, $r$ et $\theta$.

b)  Démontrez que le module de $z{\text{'}}_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ et interprétez géométriquement ce résultat.

4°  a)  Établissez qu'il existe un nombre complexe $a\ne 0$ tel que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*},{z_n}^{\prime }=a{z}_{n^{\prime }-1}$.

b)  En interprétant géométriquement la relation précédente, déterminez une similitude directe $f$ telle que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

$f(M_{n-1})=M_n$.

Précisez le centre, le rapport et l'angle de cette similitude.

5°  Dans cette question, on suppose à nouveau que $r=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\theta =\frac{\pi }{4}$.

a)  Calculez $\omega$ et placez $\mathrm{\Omega }$ sur la figure précédemment tracée.

b)  Indiquez une construction géométrique simple de $M_n$ connaissant $\mathrm{\Omega }$ et $M_{n-1}$ et placez les points $M_5,M_6,M_7,M_8$ sur la figure.