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__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Modèle:Exercice

Exercice 2-1

Résoudre (dans l’ensemble des nombres complexes) l'équation :

$\frac{4x^2+3x-2}{5}=\frac{2-x^4}{4x}$.

Exercice 2-2

Montrer que la méthode de Sotta ne peut résoudre aucune équation du quatrième degré ayant une racine double et deux racines simples, ni aucune équation du quatrième degré ayant deux racines doubles.

En déduire que si une équation du quatrième degré a un discriminant nul et vérifie de plus la relation :

$c^2-3bd+12ae=0$

alors, elle a forcément une racine triple ou quadruple. Modèle:Solution

Exercice 2-3

En résolvant l'équation :

$x^4+10x^3+6x^2+10x+1=0$

à l'aide de deux méthodes différentes, établir les relations suivantes :

$2(\sqrt[4]{7}+\sqrt[4]{3})=(\sqrt[4]{7}-\sqrt[4]{3})(\sqrt{21}+5+\sqrt{2(5\sqrt{21}+21)})$ ;

$2(\sqrt[4]{7}-\sqrt[4]{3})=(\sqrt[4]{7}+\sqrt[4]{3})(\sqrt{21}+5-\sqrt{2(5\sqrt{21}+21)})$ ;

$2(\sqrt[4]{3}+\mathrm{i}\sqrt[4]{7})=(\sqrt[4]{3}-\mathrm{i}\sqrt[4]{7})(\sqrt{21}-5+\mathrm{i}\sqrt{2(5\sqrt{21}-21)})$.

Exercice 2-4

Par la méthode de Sotta, retrouver (cf. exercices 5-3 et 6-3 de la leçon sur les équations de degré 4) les solutions de :

$x^4-(1+2\sqrt{2})x^3+3x^2\sqrt{2}-2(3-2\sqrt{2})x-2(2-\sqrt{2})=0$.