Similitude/Exercices/Lieux géométriques

Exercice 6-1

Dans le plan, on considère deux cercles $𝒞$ et ${𝒞}^{\prime }$ de centres respectifs $O$ et $O^{\prime }$, de même rayon $R$, tangents extérieurement en un point $A$.

À tout point $M$ de $𝒞$, on associe le point $M^{\prime }$ de ${𝒞}^{\prime }$ tel que $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O^{\prime }{M}^{\prime }})=\frac{\pi }{2}$.

1. Montrez qu'il existe une rotation $r$ d'angle $\frac{\pi }{2}$, dont vous construirez géométriquement le centre $\mathrm{\Omega }$, qui envoie $𝒞$ sur ${𝒞}^{\prime }$. Quelle est l'image de $M$ par $r$ ?
2. Montrez que le milieu $I$ de $[M{M}^{\prime }]$, est l'image de $M$ par une similitude directe $f$ de centre $\mathrm{\Omega }$. Déterminez le rapport et l'angle de $f$.
3. Déduisez-en $f(O)$, une mesure de l'angle $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AI})$, et le lieu de $I$ quand $M$ décrit $𝒞$.

Exercice 6-2

Dans le plan orienté, on considère un carré $ABCD$ de centre $O$ et direct (c'est-à-dire tel que $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\frac{\pi }{2}$).

Soit $P$ un point de $]BC]$. On note $Q$ l'intersection de $(AP)$ avec $(CD)$.

La perpendiculaire $\mathrm{\Delta }$ à $(AP)$ passant par $A$ coupe $(BC)$ en $R$ et $(CD)$ en $S$.

1°  Faites une figure (prenez $BC$ = Modèle:Unité, $BP$ = Modèle:Unité et placez $(BC)$ horizontale sur la feuille).

2°  Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$.

a)  Précisez l'image par $r$ de la droite $(BC)$.

b)  Déterminez les images par $r$ de $R$ et $P$.

c)  Quelle est la nature des triangles $RAQ$ et $PAS$ ?

3°  On note $N$ le milieu du segment $[PS]$ et $M$ celui du segment $[QR]$. Soit $s$ la similitude directe de centre $A$, d'angle $\frac{\pi }{4}$ et de rapport $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

a)  Précisez les images par $s$ de $R$ et $P$.

b)  Quel est le lieu géométrique du point $N$ quand $P$ décrit $]BC]$ ?

c)  Déduisez de ce qui précède que les points $M$, $B$, $N$ et $D$ sont alignés.

Exercice 6-3

$(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{A{O}^{\prime }})=\frac{\pi }{2}$ et le triangle $OA{O}^{\prime }$ est isocèle.

Les cercles $𝒞$ et ${𝒞}^{\prime }$ passant par $A$ et de centres respectifs $O$ et $O^{\prime }$ se recoupent en $B$.

À tout point $M$ de $𝒞$, on associe le point $M^{\prime }$ de ${𝒞}^{\prime }$ tel que $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O^{\prime }{M}^{\prime }})=-\frac{\pi }{2}$.

1°  Montrez qu'il existe une rotation $r$, que vous caractériserez, transformant $O$ en $O^{\prime }$ et $M$ en $M^{\prime }$.

2°  $M$ étant distinct de $B$, les droites $(BM)$ et $(B{M}^{\prime })$ recoupent respectivement ${𝒞}^{\prime }$ en $N^{\prime }$ et $𝒞$ en $N$.

Montrez que $r(N)=N^{\prime }$.

3°  On construit les carrés $MB{M}^{\prime }P$ et $NB{N}^{\prime }Q$.

Montrez que les points $P$ et $Q$ sont respectivement les images des points $M$ et $N$ par une similitude directe $s$ dont vous préciserez le centre, le rapport et l'angle.

Déduisez-en les ensembles décrits par les points $P$ et $Q$ lorsque $M$ décrit $𝒞$.

Exercice 6-4

Dans le plan orienté, on considère un carré direct $ABFE$. On note $J$ son centre et $D,C,G$ les milieux respectifs de $[AE],[BF],[AB]$.

Soit $I$ un point quelconque de $[DC]$.

• La perpendiculaire en $I$ à $(AI)$ coupe $(AE)$ en $N$.
• On note $M$ le symétrique de $N$ par rapport à $I$.

On se propose de déterminer et de tracer l'ensemble $𝒮$ des points $M$ obtenus lorsque $I$ décrit le segment $[DC]$.

1°  a)  Précisez les positions de $M$ lorsque $I$ est en $D$, puis en $J$.

b)  La droite $(AI)$ coupe $(EF)$ en $K$. Quelle est la nature du quadrilatère $AMKN$ ?

c)  Déduisez-en que $MA=MK$ et que $K$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(EF)$.

d)  Déduisez-en que tout point $M$ est centre d'un cercle passant par $A$ et tangent à $(EF)$.

Recherchez alors expérimentalement plusieurs positions de $M$. Placez-les sur une figure.

2°  On munit le plan du repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AG},\overrightarrow{AD})$.

a)  Montrez que pour tout point $M$ de $𝒮$, de coordonnées $(x,y)$, $x^2+4y-4=0$.

b)  Précisez l'ensemble des valeurs de $x$ quand $I$ décrit $[DC]$, puis tracez $𝒮$.

Exercice 6-5

$ABCD$ est un carré du plan euclidien. $M$ est un point de $(CD)$, la perpendiculaire en $A$ à $(AM)$ coupe $(BC)$ en $N$ et $I$ est le milieu de $[MN]$.

1. Montrez que le triangle rectangle $MAN$ est isocèle.
2. Montrez que $I$ est l'image de $M$ par une similitude fixe.
3. Quel est l'ensemble décrit par le point $I$ lorsque $M$ décrit $(CD)$ ?