Similitude/Exercices/Utilisation dans les démonstrations

Exercice 4-1

Dans le plan orienté, on considère un triangle $ABC$, rectangle et isocèle en $A$ ; on suppose que $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\pi }{2}$.

On note $A^{\prime }$ le symétrique de $A$ par rapport au point $C$.

1°  Déterminez le rapport et l'angle de la similitude directe $s$ qui transforme $A^{\prime }$ en $C$ et $C$ en $B$.

2°  Quelle est la transformée par $s$ de la droite $(AC)$ ?

3°  Soit $\mathrm{\Omega }$ le centre de la similitude.

Démontrez que le triangle $\mathrm{\Omega }CB$ est rectangle isocèle.

Déduisez-en une construction de $\mathrm{\Omega }$.

Exercice 4-2

$O$ est un point du plan orienté. À chaque point $M$ du plan, on associe le point $G$ défini de la manière suivante :

• Si $M$ est en $O$, alors $G$ est en $O$ ;
• Si $M$ est distinct de $O$, on construit le triangle $OM{M}^{\prime }$, rectangle en $M$, tel que $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O{M}^{\prime }})=\frac{\pi }{4}$. $G$ est alors le centre de gravité du triangle $OM{M}^{\prime }$.

1. Montrer que si $M$ est distinct de $O$ :

   $OG=\frac{\sqrt{5}}{3}OM$, $\cos (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OG})=\frac{2}{\sqrt{5}}$ et $\sin (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OG})=\frac{1}{\sqrt{5}}$.

2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $S$ qui à chaque point $M$ associe $G$.

Exercice 4-3

Dans le plan orienté, $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, direct (c'est-à-dire que $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\pi }{2}$), non isocèle.

$H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.

Le point $D$ est tel que $ACD$ est un triangle rectangle en $A$, isocèle et direct.

$O$ est le pied de la hauteur issue de $D$ dans le triangle $DBC$.

$K$ est le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $DAO$.

1. Faites une figure.
2. Montrez que la rotation $r$ de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$ transforme la droite $(BC)$ en $(DO)$, puis le triangle $AHC$ en $AKD$. Déduisez-en que $AHOK$ est un carré.
3. Montrez que $O\ne C$ et déduisez-en que les droites $(AB)$ et $(KH)$ sont sécantes.
4. Déduisez-en qu'il existe une homothétie $h$ qui transforme le triangle $AKD$ en $BHA$.
5. On considère la transformation composée $s=h\circ r$. Déterminez l'image par $s$ des points $H$, $C$ et $A$, puis identifiez $s$ et donnez ses éléments caractéristiques.

Exercice 4-4

Dans un plan orienté, on considère un triangle rectangle $ABC$ tel que $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=\frac{\pi }{2}$.

La hauteur issue de $C$ coupe $(BA)$ en $H$ et coupe la parallèle à $(BC)$ menée par $A$ en $D$.

On pose $CA=b$ et $BC=a$.

1°  Soit $s$ la similitude directe qui transforme $C$ en $A$ et $B$ en $C$.

a)  Déterminez son rapport en fonction de $a$ et $b$ et calculez son angle.

b)  En utilisant cet angle, démontrez que le centre de $s$ est le point $H$.

c)  Quelle est l'image de $A$ par $s$ ?

2°  En utilisant $s$, démontrez l'égalité : $H{C}^2=HA\times HB$.

3°  Soit $I$ le milieu de $[BC]$, $J$ le milieu de $[CA]$ et $K$ le milieu de $[AD]$. Démontrez que le triangle $IJK$ est rectangle en $J$ et que dans ce triangle, $H$ est le pied de la hauteur issue de $J$. Modèle:Solution

Exercice 4-5

Soit $ABO$ un triangle équilatéral du plan orienté tel que $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\frac{\pi }{3}$.

On note $I$ le milieu de $[OB]$ et $s$ la similitude directe de centre $O$ transformant le point $A$ en $I$.

$M$ désigne un point quelconque du plan et $M^{\prime }$ son image par $s$.

1°  a)  Déterminez l'angle et le rapport de $s$.

b)  Construisez le point $C$ du plan tel que $s(C)=A$. Justifiez soigneusement cette construction.

c)  Exprimez $A{M}^{\prime }$ en fonction de $CM$.

2°  On note $M^{″}$ l'image du point $M$ par la réflexion $r$ d'axe $\mathrm{\Delta }$, la médiatrice de $[AB]$.

On se propose de déterminer l'ensemble $(\mathrm{\Gamma })$ des points $M$ du plan tels que $A$ soit équidistant de $M^{\prime }$ et $M^{″}$.

a)  Montrez que $A{M}^{″}=BM$.

b)  Montrez que $M$ appartient à $(\mathrm{\Gamma })$ si, et seulement si, $M{C}^2-4M{B}^2=0$.

3°  Notez $G$ le barycentre de $(C,1),(B,-4)$.

En écrivant que $M{C}^2=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})\cdot (\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})$ et une égalité analogue avec $M{B}^2$, prouvez que :

$M{C}^2-4M{B}^2=-3M{G}^2+G{C}^2-4G{B}^2$.

4°  Déterminez alors l'ensemble $(\mathrm{\Gamma })$, puis construisez-le. Modèle:Solution

Exercice 4-6

Dans le plan orienté, on donne un triangle isocèle $OA{O}^{\prime }$ tel que $(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{A{O}^{\prime }})=\frac{\pi }{2}$.

Les cercles $𝒞$ et ${𝒞}^{\prime }$ passant par $A$ et de centre respectifs $O$ et $O^{\prime }$ se recoupent au point $B$. On note $I$ le centre du carré $AOB{O}^{\prime }$.

1°  $D$ et $D^{\prime }$ étant les points diamétralement opposés à $A$ sur les cercles $𝒞$ et ${𝒞}^{\prime }$ respectivement, démontrez à l'aide d'une homothétie de centre $A$ que les points $D$, $B$ et $D^{\prime }$ sont alignés.

2°  Soit $M$, différent de $A$ et $B$, un point du cercle $𝒞$ et $M^{\prime }$ le point d'intersection de la droite $(MB)$ avec le cercle ${𝒞}^{\prime }$.

On note $r$ la rotation de centre $A$ qui transforme $O$ en $O^{\prime }$.

Quelle est l'image par $r$ de la droite $(BM)$ ? Déduisez-en que $r(M)=M^{\prime }$.

3°  Soit $N$ le point d'intersection de la droite $(M^{\prime }A)$ avec le cercle $𝒞$ et $N^{\prime }$ le point d'intersection de la droite $(MA)$ avec le cercle ${𝒞}^{\prime }$.

Démontrez que $r(N)=N^{\prime }$.

4°  On suppose que $M$ est distinct de $D$.

a)  Prouvez que $N$ est distinct de $A$. On construit alors le carré $NA{N}^{\prime }F$.

b)  Montrez que les points $B$ et $F$ sont les images respectives des points $O$ et $N$ par une similitude directe $s$ dont vous préciserez les éléments caractéristiques.

c)  Construisez $s(𝒞)$.