Réduction des endomorphismes/Décomposition de Frobenius

Modèle:Chapitre Modèle:Clr $E$ est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $K$ et $\phi$ est un endomorphisme de $E$, dont le polynôme minimal ${\mu }_{\phi }$ n'est plus supposé scindé.

Remarque

Pour tout vecteur $x$, en notant $d_x$ le degré de ${\mu }_{\phi ,x}$, les $d_x$ vecteurs $x,\phi (x),{\phi }^2(x),\dots ,{\phi }^{d_x-1}(x)$ forment une base de $S_x$.

Modèle:Lemme

Par récurrence sur la dimension, on en déduit la décomposition de Frobenius : Modèle:Théorème