Produit scalaire dans l'espace/Exercices/Exercices

Exercice 1

Soit $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ un vecteur de l'espace ${ℝ}^3$. Déterminer l'ensemble des vecteurs $\overrightarrow{v}$ de ${ℝ}^3$ tels que $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}=-1$. Modèle:Solution

Exercice 2

Exercice 1 de l'épreuve de spécialité du Bac S 2007 en France métropolitaine.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal, soient $(P)$ et $(P^{\prime })$ les plans d'équations respectives $x+2y-z+1=0$ et $-x+y+z=0$ et $A$ le point de coordonnées $(0,1,1)$.

1. Démontrer que $(P)$ et $(P^{\prime })$ sont perpendiculaires.
2. Démontrer qu'ils se coupent suivant la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est $x=-\frac{1}{3}+t,y=-\frac{1}{3},z=t$, où $t$ est un paramètre réel.
3. Calculer la distance de $A$ à chacun des plans $(P)$ et $(P^{\prime })$.
4. En déduire la distance de $A$ à $(d)$.

Exercice 3

Dans l'espace euclidien usuel ${ℝ}^3$, on considère les points $A=(1,1,1)$, $B=(-2,-5,-2)$ et $C=(-1,-3,-3)$.

1. Déterminer l'équation du plan $P$ contenant $A$ et orthogonal à la droite $(BC)$.
2. Trouver la distance entre le plan $P$ et le point $B$.
3. Trouver la distance entre la droite $(BC)$ et le point $A$.

Exercice 4

On considère la droite $𝒟$ dont une représentation paramétrique est donnée par

$\{\begin{array}{ccc}x& =& 1+2\lambda \\ y& =& \lambda \\ z& =& -1-\lambda \end{array},\lambda \in ℝ$.

1. Donner un vecteur directeur de cette droite.
2. Calculer la distance entre $𝒟$ et la droite ${𝒟}^{\prime }$ passant par $(1,2,-1)$ et de direction $(0,-1,1)$.

Exercice 5

Dans ${ℝ}^3$, considérons les plans $𝒫$ et ${𝒫}^{\prime }$ d'équations respectives $x-y+z=2$ et $x+2y+3z=4$.

1. Montrer que $𝒫\cap {𝒫}^{\prime }$ est une droite $𝒟$ dont on donnera une paramétrisation.
2. Donner une équation cartésienne du plan ${𝒫}^{″}$ perpendiculaire à $𝒟$ et passant par le point $A(1,0,-1)$.
3. Calculer $𝒫\cap {𝒫}^{\prime }\cap {𝒫}^{″}$.