Intégration de Riemann/Exercices/Calculs d'aires

Exercice 3-1

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=x^4-x^2+1$ ;

$g(x)=-\frac{x^4}{2}+2$.

Exercice 3-2

Évaluer les aires des deux sous-ensembles du plan délimités par les courbes d'équations :

$y=2x^2,y=x^3,y=\sqrt[4]{x}$.

Exercice 3-3

Soit $R>0$. Calculer l'aire du disque $D_R:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2+y^2\le R^2\}$. Modèle:Solution

Plus généralement, pour $a\ge b>0$, calculer l'aire du domaine $\{(x,y)\in {ℝ}^2|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\}$. Modèle:Solution

Exercice 3-4

Soit $R>0$. On considère la boule $B_R:=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2+z^2\le R^2\}$.

1. Pour tout $h\in ℝ$, quelle est l'aire $S(h)$ de l'intersection de cette boule avec le plan d'équation $z=h$ ?
2. En déduire le volume $V_R$ de $B_R$, à l'aide de la formule $V_R=\underset{-R}{\overset{R}{\int }}S(h)\mathrm{d}h$.

Exercice 3-5

Calculer l'aire du parallélogramme $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid a\le x\le b,\alpha x+c\le y\le \alpha x+d\}$. Modèle:Solution

Exercice 3-6

Calculer l'aire du domaine $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid -1\le x\le 1,x^3\le y\le x^2\}$. Modèle:Solution

Exercice 3-7

On se donne les points du plan $A(0,1)$, $B(1,0)$ et $C(2,0)$.

1. Écrire les équations des droites $(AB)$ et $(AC)$.
2. Calculer l'aire du triangle $ABC$.
3. Calculer l'aire du triangle $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x,y\ge 0,x+y\le 1\}$.