Calcul différentiel/Exercices/Examen

Examen de L3, université Paul Sabatier, 17/05/2017, durée : 3 h.

Ex. I

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O,i,j)$, on se propose d'étudier la courbe paramétrée

$\gamma (t)=\{\begin{array}{cc}x(t)& =(t^2-1)(t^3-1)\\ y(t)& =(t^2-1)(t^3+1)\end{array}$

1. Étudier les éventuelles symétries de la courbe (dans chaque cas, expliciter la transformation géométrique qui laisse la courbe invariante et la transformation associée $ℝ\to ℝ$ du domaine de définition).
2. Déterminer les éventuels points singuliers de $\gamma$ et les étudier. Dessiner l'allure de la courbe au voisinage de ces points dans le repère donné.
3. Étudier les branches infinies de $\gamma$ et déterminer ses éventuelles asymptotes.
4. Préciser l'allure de $\gamma$ au voisinage de l'origine.
5. Donner l'allure de $\gamma$ sur un dessin.

Ex. II

On considère la fonction $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ donnée par la relation $f(x,y)=(x^2-y^2-1,2xy)$, et l'on note $\varphi (x,y)=\Vert f(x,y){\Vert }^2$ où $\Vert \Vert$ est la norme euclidienne canonique de ${ℝ}^2$.

1. Déterminer les points critiques de $\varphi$.
2. Étudier les extrema locaux de $\varphi$.

Ex. III

1. Montrer qu'il existe des voisinages $U$ et $V$ de $(0,0)$ dans ${ℝ}^2$ tels que, pour tout $(u,v)\in V$, le système
   $\{\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{xy}\sin (x-y)& =u\\ {\mathrm{e}}^{-xy}\sin (x+y)& =v\end{array}$
   admet une unique solution $(x,y)$ dans $U$.
2. Montrer que l'équation ${\mathrm{e}}^{xy}\sin (x-y)={\mathrm{e}}^{-xy}\sin (x+y)$ détermine localement $y$ comme une fonction de $x$ au voisinage de $0$, c'est-à-dire qu'il existe une fonction $\varphi$, de classe $C^{\mathrm{\infty }}$, définie sur un voisinage $I$ de $0$ et à valeurs dans un voisinage $J$ de $0$, telle que
   $\mathrm{\forall }(x,y)\in I\times J{\mathrm{e}}^{xy}\sin (x-y)={\mathrm{e}}^{-xy}\sin (x+y)\iff y=\varphi (x)$.
   Calculer ${\varphi }^{\prime }(0)$.

Ex. IV

Étant données deux fonctions continues $a$ et $b$ de $ℝ$ dans $ℝ$, on considère l'équation différentielle

$y^{″}+a(t)y^{\prime }+b(t)y=0(E)$.

1. On suppose dans cette question que $a$ et $b$ sont des constantes. Expliciter alors, en discutant suivant $a$ et $b$, toutes les solutions réelles de $(E)$.
2. Dans la suite, on ne suppose plus $a$ et $b$ constantes. En posant
   $Y=\left(\begin{array}{c}y\\ y^{\prime }\end{array}\right)$,
   donner une équation linéaire de la forme
   $Y^{\prime }=A(t)Y(E^{\prime })$
   équivalente à $(E)$.
3. Justifier que pour tout $t_0\in ℝ$ et $(y_0,v_0)\in {ℝ}^2$, il existe une unique solution maximale $y$ de $(E)$ telle que $y(t_0)=y_0$ et $y^{\prime }(t_0)=v_0$. Que dire de son domaine de définition ?
4. Soit $\varphi$ une solution de $(E)$. On suppose qu'il existe $t_0\in ℝ$ tel que $\varphi (t_0)=0$ et ${\varphi }^{\prime }(t_0)=0$. Montrer que $\varphi$ est l'application nulle.
   En déduire qu'une solution non constamment nulle n'a que des zéros isolés.
5. Soit $\varphi$ et $\psi$ deux solutions non constamment nulles de $(E)$. On suppose qu'il existe $t_0\in ℝ$ tel que $\varphi (t_0)=\psi (t_0)=0$. On pose $\lambda ={\psi }^{\prime }(t_0)$ et $\mu =-{\varphi }^{\prime }(t_0)$. Montrer que $\lambda \varphi +\mu \psi =0$.
   En déduire que deux solutions linéairement indépendantes n'ont pas de zéro commun.