Intégration en mathématiques/Devoir/Intégrales eulériennes

— Ⅰ —

Soit $f$ une primitive, sur $ℝ$, de l'application $\phi$ qui, à tout réel $t$, associe :

$\phi (t)=\frac{1}{2t^2-2t+1}$.

1°  Soit $g$ l’application de l'intervalle $S=]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ dans $ℝ$ définie par :

$g(u)=f\left(\frac{1+\tan u}{2}\right)$.

Prouver que $g$ est dérivable sur $S$, puis que $g$ est une fonction affine.

2°  Montrer que :

$\frac{\pi }{2}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{2t^2-2t+1}$.

— Ⅱ —

On considère l'application $I$ de $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ dans $ℝ$ définie par :

$I(p,q)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^p(1-t{)}^q\mathrm{d}t$.

1°  En majorant convenablement $t(1-t)$ pour $t\in [0,1]$, trouver la limite de la suite ${(2^{n}I(n,n))}_{n\in \mathbb{N}}$.

2°  Montrer que :

$\mathrm{\forall }(p,q)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}I(p+1,q+1)=\frac{q+1}{p+2}I(p+2,q)$

(on pourra utiliser une intégration par parties) et en déduire que :

$\mathrm{\forall }(p,q)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}I(p,q)=\frac{q!p!}{(p+q+1)!}$.

— Ⅲ —

1°  Après avoir remarqué que :

$2t^2-2t+1=1-2t(1-t)$,

simplifier, pour $t\in ]0,1[$, l'expression de

$\frac{1}{2t^2-2t+1}-\sum _{k=0}^n{2}^k{t}^k(1-t{)}^k$.

2°  Quelle est la limite de la suite $w$ définie par :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{w}_n=\sum _{k=0}^n\frac{2^k(k!{)}^2}{(2k+1)!}$ ?