Intégration en mathématiques/Devoir/Encadrement du nombre e

1°  Pour tout entier naturel $n$, on considère l'application $f_n:ℝ\to ℝ$ définie par :

$f_n(x)=\frac{x^n{\mathrm{e}}^{-x}}{n!}$.

a)  Pour $n>0$, donner le tableau de variation de $f_n$, en distinguant les deux cas : $n$ pair et $n$ impair.

b)  Tracer, dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, les courbes représentatives des fonctions $f_2$ et $f_3$ ; on précisera la position relative de ces courbes.

c)  En revenant au cas général, montrer que, si $0⩽x⩽1$, alors on a :

$0⩽f_n(x)⩽\frac{1}{n!\mathrm{e}}$.

2°  Soit :

$I_n(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{f}_n$.

a)  Calculer $I_0(x)$.

b)  À l'aide d'une intégration par parties, démontrer la relation de récurrence :

$I_n(x)-I_{n-1}(x)=-\frac{x^n}{n!}{\mathrm{e}}^{-x}$.

c)  Démontrer que l'on a :

$I_n(x)=1-{\mathrm{e}}^{-x}[1+\frac{x}{1!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}]$,

c'est-à-dire : $I_n(x)=1-{\mathrm{e}}^{-x}\left[\sum _{p=0}^n\frac{x^p}{p!}\right]$.

Quelle est la limite, pour $n$ fixé, de $I_n(x)$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ ?

3°  On pose $J_n=I_n(1)$.

a)  Démontrer que $0⩽J_n⩽\frac{1}{n!\mathrm{e}}$.

En déduire, en utilisant le calcul de $I_n$, que l'on a :

$0⩽1-{\mathrm{e}}^{-1}\left[\sum _{p=0}^n\frac{1}{p!}\right]⩽\frac{1}{n!\mathrm{e}}$

et

$\sum _{p=0}^n\frac{1}{p!}⩽\mathrm{e}⩽\left[\sum _{p=0}^n\frac{1}{p!}\right]+\frac{1}{n!}$.

b)  Quelle est la limite, quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, de $\sum _{p=0}^n\frac{1}{p!}$ ?

c)  En calculant $\sum _{p=0}^5\frac{1}{p!}$, donner le meilleur encadrement, permis par ce calcul, du nombre $\mathrm{e}$.