Intégration en mathématiques/Exercices/Divers

Exercice 19-1

Pour $m$ et $n$ entiers naturels, on considère l'intégrale :

$I(m,n)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(x-a{)}^m(b-x{)}^n\mathrm{d}x$.

1°  Calculer $I(m,n)$ :

a)  en utilisant le changement de variable $x-a=t$ et la formule du binôme ;

b)  en établissant, par intégration par parties, une relation de récurrence entre $I(m,n)$ et $I(m+1,n-1)$, puis en déduisant $I(m,n)$ du calcul de $I(m+n,0)$.

2°  Déduire de ce qui précède que :

$\sum _{i=0}^n\frac{(-1{)}^i}{m+i+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=\frac{1}{(m+n+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n})}$.

Exercice 19-2

Soit :

$I(a)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|x^2+a|\mathrm{d}x$.

Prouver que, pour tout $a$ :

$I(a)⩾I(-\frac{1}{4})$.

Exercice 19-3

On considère, dans un repère orthonormal, la courbe $H$ d'équation :

$y=\frac{1}{x}$.

Soit $x$ un nombre strictement positif. On désigne par $M$ et $M^{\prime }$ les deux points de la courbe $H$ d'abscisses respectives $x$ et $\frac{{\mathrm{e}}^2}{x}$, et $P$ et $P^{\prime }$ leurs projetés orthogonaux sur l’axe des abscisses.

1°  Calculer l’aire $S(x)$ de la surface limitée par l’axe des abscisses, les droites $(MP)$ et $(M^{\prime }{P}^{\prime })$ et la courbe $H$.

2°  On considère la fonction $S$ définie par :

$\{\begin{array}{c}S(x)=2-2\ln x,\text{pour }0<x⩽\mathrm{e}\\ S(x)=2\ln x-2,\text{pour }x⩾\mathrm{e}.\end{array}$

Calculer la dérivée de la fonction $S$ pour $x\ne \mathrm{e}$

Étudier la variation de $S$ et construire son graphique.

Préciser les demi-tangentes à ce graphique au point d'abscisse $x=\mathrm{e}$.

3°  Calculer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire $S$ est égale à $2$.

4°  Étudier les limites à droite et à gauche en $\mathrm{e}$ de la fonction :

$x⟼\frac{S(x)}{2(x-\mathrm{e})}$.

Exercice 19-4

On considère la fonction $f:ℝ\to ℝ$ définie par :

$f(x)=\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}$.

1°  Étudier son ensemble de définition, démontrer qu'elle est périodique de période $\pi$ et étudier sa variation dans l'intervalle $]-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}[$.

Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal.

2°  Calculer les primitives de $f$. On pourra mettre $f(x)$ sous la forme :

$f(x)=A+B\left(\frac{-\sin x+\cos x}{\cos x+\sin x}\right)$

où $A$ et $B$ sont des constantes à préciser.

En déduire la valeur de l’aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=0$, $x=\frac{\pi }{2}$.

Exercice 19-5

Soit la fonction $f:{ℝ}^{*}\to ℝ$ définie par :

$f(x)=\ln \left(x^2\right)$.

1°  Étudier la variation de $f$ et la représenter graphiquement par rapport à un repère orthonormal $(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. Soit $C$, la courbe représentative.

2°  Écrire l'équation de la tangente à $C$ au point $E$ ayant pour abscisse le nombre $\mathrm{e}$.

3°  Vérifier que la fonction $F$ définie par :

$F(x)=x\ln \left(x^2\right)-2x$

est une primitive de la fonction $f$ dans chacun des intervalles où cette dernière est définie.

4°  Évaluer l’aire du domaine plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $C$ et la tangente à $C$ au point $E$. Modèle:Solution