Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques

Exercice 1 : Topologie définie par les voisinages

Soient un ensemble $E$ et une application

$𝒱:E\to 𝒫(𝒫(E))$.

1. — Vérifier que si $E$ est muni d'une topologie pour laquelle $𝒱$ est l'application qui à chaque point $a$ de $E$ associe l'ensemble des voisinages de $a$, alors $𝒱$ possède les cinq propriétés suivantes (pour tout $a\in E$) :

(i) $\mathrm{\forall }V\in 𝒱(a)[V\subset W\subset E\Rightarrow W\in 𝒱(a)]$,

(ii) $\mathrm{\forall }V,W\in 𝒱(a)V\cap W\in 𝒱(a)$,

(iii) $E\in 𝒱(a)$,

(iv) $\mathrm{\forall }V\in 𝒱(a)a\in V$,

(v) $\mathrm{\forall }V\in 𝒱(a)\mathrm{\exists }W\in 𝒱(a)\mathrm{\forall }y\in WV\in 𝒱(y)$.

2. — La suite de l'exercice consiste à démontrer la réciproque. On suppose donc que $𝒱$ est une application vérifiant ces cinq propriétés, et l'on note $𝒯$ l'ensemble des parties $O$ de $E$ qui vérifient : $\mathrm{\forall }x\in OO\in 𝒱(x)$. Montrer que :

(a) $𝒯$ est une topologie sur $E$ ;

(b) pour tout $a\in E$ et tout voisinage $V$ de $a$ pour $𝒯$, $V\in 𝒱(a)$ ;

(c) pour toute partie $V$ de $E$, l'ensemble

$O:=\{x\in E\mid V\in 𝒱(x)\}$

appartient à $𝒯$ ;

(d) pour tout $a\in E$ et tout $V\in 𝒱(a)$, $V$ est un voisinage de $a$ pour $𝒯$.

Exercice 2 : Mesurabilité des convexes

Soit $C\subset {ℝ}^n$ un convexe dont l'enveloppe affine (le plus petit sous-espace affine contenant $C$) est ${ℝ}^n$ tout entier.Modèle:Wikipédia

1. Montrer que le convexe $\stackrel{\circ }{C}$ (l'intérieur de $C$) est non vide.
2. Pour simplifier les notations, on suppose désormais que $0\in \stackrel{\circ }{C}$. Montrer qu'alors, $\mathrm{\forall }p\in \bar{C}[0,p[\subset \stackrel{\circ }{C}$.
3. En déduire que pour tout réel $k>1$, l'adhérence $\bar{C}$ est incluse dans l'ouvert $k\stackrel{\circ }{C}$.
4. En déduire que si $C$ est borné alors sa frontière est Lebesgue-négligeable, puis étendre ce résultat au cas $C$ non borné. En déduire que $C$ est Lebesgue-mesurable.
5. Montrer que si $C$ est de volume fini alors $C$ est borné.
6. Montrer qu'il existe, dans ${ℝ}^2$, des convexes non boréliens.

Exercice 3 : Théorème « 14 » de Kuratowski

Modèle:Wikipédia Pour toute partie S d'un espace topologique X, notons kS l'adhérence de S et cS le complémentaire de S. On utilisera des notations allégées, sans signes ∘ ni parenthèses, pour les diverses composées de k et c, appliquées à S.

1. Montrer que ckcS ⊂ S.
2. En déduire que kckckck = kck.
3. En déduire que parmi toutes les applications de 𝒫(X) dans 𝒫(X) obtenues à partir de 1 (l'identité) par compositions répétées par k ou c (qui pourraient a priori former un ensemble dénombrable) en fait au plus 14 (que l'on explicitera) sont distinctes.
4. Pour X = ℝ muni de sa topologie usuelle, montrer que ces 14 composées sont effectivement distinctes (considérer la partie ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ {3} ∪ (ℚ ∩ ]4, 5[)).
5. Existe-t-il des espaces X pour lesquels seules deux de ces composées sont distinctes ?
6. Existe-t-il des espaces X pour lesquels toutes ces composées sont égales ?

Exercice 4

Soient $E$ un espace métrique, $O\in E$ et pour tout $\rho \in [0,+\mathrm{\infty }]$, $B_{\rho }=\{M\in E\mid OM<\rho \}$. On considère $𝒯=\{B_{\rho }\mid \rho \in [0,+\mathrm{\infty }]\}$.

1. Montrer que $𝒯$ est une topologie sur $E$.
2. Cette topologie est-elle séparée ?
3. Vérifier que toute partie $\mathrm{\Delta }\subset E$ contenant $O$ est dense dans $E$.

Exercice 5

Soient $f:X\to Y$ continue et $\mathrm{\Gamma }(f):=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subset X\times Y$ son graphe ($X\times Y$ est muni de la topologie produit).

Montrer que $\mathrm{\Gamma }(f)$ (muni de la topologie induite) est homéomorphe à $X$. Modèle:Solution

Exercice 6

Soient $(X_i,{𝒯}_i{)}_{i\in I}$ une famille d'espaces topologiques et $(X,𝒯)$ l'espace produit associé.

1. Soit $J\subset I$. Montrer que l'application $p:X\to \prod _{i\in J}{X}_i,(x_i{)}_{i\in I}\mapsto (x_i{)}_{i\in J}$ est continue.
2. Supposons que chaque $X_i$ est séparé. Montrer que $X$ l'est également.
3. Supposons que $I=\mathbb{N}$ et que chaque $X_i$ est séparable. Montrer que $X$ l'est également.

Exercice 7 : séparabilité et cardinaux

1. Soient $X$ un espace séparé et à bases dénombrables de voisinages et $D$ une partie dense dans $X$.
   1. Montrer (en signalant où chaque hypothèse est utilisée) que le cardinal de $X$ est inférieur ou égal au cardinal de l'ensemble des suites à valeurs dans $D$.
   2. En déduire que si $X$ est de plus séparable, son cardinal est inférieur ou égal au cardinal de $ℝ$.
2. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, notons $[0..n]$ l'ensemble des entiers de $0$ à $n$, $𝒫([0..n])$ l'ensemble de ses parties et $F_n$ l'ensemble des applications de $𝒫([0..n])$ dans $\mathbb{N}$. Montrer que l'ensemble $F:={\cup }_{n\in \mathbb{N}}{F}_n$ est dénombrable.
3. Soit $(X_A{)}_{A\in 𝐑}$ une famille d'espaces séparables non vides indexée par $𝐑:=𝒫(\mathbb{N})$, et $X=\prod _{A\in 𝐑}{X}_A$ muni de la topologie produit. On va montrer que $X$ est séparable.
   On fixe dans chaque $X_A$ une partie dense $D_A=\{d_{A,k}\mid k\in \mathbb{N}\}$.
   On considère l'ensemble dénombrable $F$ de la question 2. À chaque application $f\in F$, définie sur $𝒫([0..n])$ pour un certain $n$, on associe le point $y_f:=(d_{A,f(A\cap [0..n])}{)}_{A\in 𝐑}$ de $X$. On note $D$ l'ensemble de tous ces $y_f$.
   1. Montrer que tout ouvert élémentaire non vide $\prod _{A\in 𝐑}{U}_A$ rencontre $D$.
      (Indication : en notant $A_1,\dots ,A_r$ les $A\in 𝐑$ pour lesquels l'ouvert $U_A$ n'est pas $X_A$ tout entier, montrer qu'il existe $k_1,\dots ,k_r\in \mathbb{N}$ tels que $d_{A_i,k_i}\in U_{A_i}$, puis fixer un entier $n$ suffisamment grand pour que les $r$ parties finies $A_i\cap [0..n]$ soient distinctes et choisir un $f\in F_n$ convenable.)
   2. En déduire que $X$ est séparable.
4. En utilisant les questions 1 et 3, construire au moins un espace séparé, séparable et non métrisable (c'est-à-dire dont la topologie ne peut pas être définie à partir d'une distance).

Exercice 8

Dans cet exercice, $\overline{B}(0,R)$ désigne la boule fermée de rayon $R$ de ${ℝ}^2$, centrée à l'origine. On considère l'espace produit

$X=\prod _{N=1}^{+\mathrm{\infty }}\overline{B}(0,N)$.

1. Soient $1\le N\le N^{\prime }$ deux entiers. On note $p_N:{ℝ}^2\to \overline{B}(0,N)$ la projection sur $\overline{B}(0,N)$ définie par
   $p_N(x)=\{\begin{array}{cc}x& \text{si }x\in \overline{B}(0,N)\\ Nx/\Vert x\Vert & \text{sinon.}\end{array}$
   Vérifier que $p_N$ est continue.
2. On considère le sous-ensemble de $X$ :
   $Y=\{(y_N{)}_{N\in {\mathbb{N}}^{*}}\in X\mid \mathrm{\forall }N,N^{\prime }\in {\mathbb{N}}^{*}N\le N^{\prime }\Rightarrow p_N(y_{N^{\prime }})=y_N\}$.
   Montrer que c'est une partie fermée de $X$ (on pourra écrire $Y$ comme une intersection de fermés).
3. Soit $x\in {ℝ}^2$. Déterminer la suite $(p_N(x){)}_{N\in {\mathbb{N}}^{*}}$.
4. En déduire qu'il existe une injection continue $\varphi :{ℝ}^2\hookrightarrow Y$.
5. À quoi est homéomorphe le complémentaire $Y\setminus \varphi ({ℝ}^2)$ ?