Calcul différentiel/Exercices/Recherches d'extrema

Exercice 1

Soit $f:{ℝ}^2\to ℝ,(x,y)\mapsto x^2-x{y}^2$. Montrer que $(0,0)$ est le seul point critique de $f$, qu'il n’est pas un extremum local, mais que pourtant la restriction de $f$ à toute droite passant par $(0,0)$ admet en ce point un minimum local. Modèle:Solution

Exercice 2

Déterminer les extrema (locaux et globaux) de :

• $f:(x,y)\mapsto xy(1-x^2-y^2)$ sur ${[0,1]}^2$ ;
• $g:(x,y)\mapsto x^4+y^4-2(x-y{)}^2$.

Exercice 3

Soit $f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x-6y$.

1. Montrer que $f$ admet au plus un extremum.
2. Écrire $f(x,y)+9$ comme la somme de deux carrés et en déduire que $f$ admet $-9$ comme valeur minimale.

Modèle:Solution Montrer que $g:(x,y)\mapsto x^2+2xy+y^2+x$ n'a pas de point critique (donc pas d'extremum global ni même local). Modèle:Solution Montrer que $h:(x,y)\mapsto x^2-y^2$ n'a pas d'extremum global ni même local. Modèle:Solution Montrer que $k:(x,y)\mapsto 2x^2+2xy+y^2+x+3y$ a un extremum. Modèle:Solution

Exercice 4

Soit $f:{ℝ}^2\to ℝ,(x,y)\mapsto x{\mathrm{e}}^y+y{\mathrm{e}}^x$. Montrer que $f$ n'a pas d'extremum local. Modèle:Solution

Exercice 5

1. Étudier les extrema éventuels de la fonction $f:{]0,+\mathrm{\infty }[}^2\to ℝ,(a,b)\mapsto ab+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.
2. En déduire qu'à volume fixé, le parallélépipède rectangle d'aire minimale est un cube.
3. Déterminer de même le volume maximal et la forme d'un parallélépipède rectangle inscrit dans une sphère de rayon $1$.

Exercice 6

On considère le point $A=(1,2,3)$ et la sphère unité $S$ de ${ℝ}^3$ : $x^2+y^2+z^2=1$.

1. Quel est le point de $S$ le plus proche de $A$ ?
2. On considère aussi le plan $P$ : $x+y+z=0$. Quel est le point de $S\cap P$ le plus proche de $A$ ?

Exercice 7

Chercher les extrema globaux de

$f:(x,y)\mapsto x^5+y^5,g:(x,y)\mapsto x^5-y^5\text{et}h:(x,y)\mapsto xy$

sur le disque unité fermé

$\bar{D}:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2+y^2\le 1\}$

puis sur le disque unité ouvert

$D:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2+y^2<1\}$.

Exercice 8

Pour chacune des fonctions suivantes, donner le développement limité d'ordre $2$ et étudier la nature du point donné, s'il est critique :

• $f_1(x,y)=x^2-xy+y^2$ au point $(0,0)$ ;
• $f_2(x,y)=x^3+2x{y}^2-y^4+x^2+3xy+y^2+10$ au point $(0,0)$ ;
• $f_3(x,y)={\mathrm{e}}^{xy}$ au point $(2,0)$ ;
• $f_4(x,y,z)=xyz$ au point $(1,2,0)$.

Exercice 9

Déterminer si les matrices suivantes peuvent être des matrices hessiennes :

$A=\left(\begin{array}{cc}1& x+y\\ x-y& y^2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& xy\\ xy& x^2\end{array}\right).$

Exercice 10

Trouver les points critiques des six fonctions suivantes de ${ℝ}^2$ dans $ℝ$ et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle.

Déterminer aussi si ces mêmes fonctions ont des maxima ou minima globaux.

• $f_1(x,y)=\sin x+y^2-2y+1$ ;
• $f_2(x,y)=\sin (2\pi x)\sin (2\pi y)$ ;
• $f_3(x,y)=\sqrt{x^2+(y-a{)}^2}+\sqrt{(x-a{)}^2+y^2}$, où $a$ est un nombre réel donné ;
• $f_4(M)=MA+MB-MO,O=\text{milieu}(A,B)(A\ne B)$ ;
• $f_5(x,y)=(y-x^2){\mathrm{e}}^{-y}$ ;
• $f_6(x,y)=2x^3+6xy-3y^2+2$.

Exercice 11

On considère la fonction $f:{ℝ}^3\to ℝ$ définie par

$f(x,y,z)={\mathrm{e}}^{x^2}-y-x^2+y^2+z^4$.

1. Trouver les points critiques de $f$.
2. Déterminer si la fonction $f$ possède un maximum global (resp. minimum global).
3. Déterminer si la restriction de $f$ à l'ensemble $B:=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2+z^2\le 1\}$ possède un maximum global (resp. minimum global). Que peut-on dire sur la localisation de ces extrema globaux ?

Exercice 12

Dans l'espace affine euclidien usuel, soient $D_1$, $D_2$, $D_3$ trois droites deux à deux non parallèles. Soit

$f:D_1\times D_2\times D_3\to ℝ,(M_1,M_2,M_3)\mapsto M_1{M}_2^2+M_2{M}_3^2+M_3{M}_1^2$.

On choisit sur chaque droite un point $A_i\in D_i$ et un vecteur directeur $u_i\in \overrightarrow{D_i}$, et l'on note $M_i=A_i+{\lambda }_i{u}_i$.

1. Montrer que $\underset{\Vert ({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)\Vert \to \mathrm{\infty }}{\lim }f(M_1,M_2,M_3)=+\mathrm{\infty }$ et en déduire que $f$ admet un minimum.
2. Montrer que ce minimum est strict (donc n'est atteint qu'une fois).
3. Dans le cas où $D_1$, $D_2$, $D_3$ sont coplanaires et délimitent un triangle équilatéral, identifier ce minimum.

Exercice 13

Soient $f:{ℝ}^n\to ℝ$ différentiable, $S$ la sphère unité de ${ℝ}^n$, $g$ la restriction de $f$ à $S$, et $x$ un point de $S$ en lequel $g$ a un extremum local (par exemple un maximum ou un minimum global — on sait que les deux existent). Montrer qu'il existe un réel $\lambda$ tel que $\mathrm{\nabla }f(x)=\lambda x$. Modèle:Solution

Déterminer la valeur maximum de $y$ sur la [[../Courbes paramétrées#Exercice 3|lemniscate de Bernoulli]] d'équation ${(x^2+y^2)}^2=x^2-y^2$. Modèle:Solution

Déterminer les extrema locaux de $y$ sur le [[../Inversion locale, fonctions implicites#Exercice 9|folium de Descartes]] d'équation $x^3+y^3=3xy$. Modèle:Solution

Exercice 14

Chercher les extrema des fonctions $f(x,y)$ suivantes :

1. $3xy-x^3-y^3$ ;
2. $x^2{y}^2(1+3x+2y)$ ;
3. $2x+y-x^4-y^4$ ;
4. $\frac{xy}{(x+y)(1+x)(1+y)}(x,y>0)$ ;
5. $x({\ln }^{2}x+y^2)(x>0)$.

Exercice 15

On pose $f(x,y)=(y^2-x^2)(y-3)$.

1. Calculer le vecteur gradient et la matrice hessienne de $f$.
2. Déterminer les points critiques de $f$.
3. Donner le développement limité de $f$ au point $(0,0)$ à l'ordre 2.
4. Montrer que $(0,0)$ est un point selle et que $(0,2)$ est un minimum local.

Exercice 16

Considérons la fonction $f(x,y)=x^3+y^3-x^2-y^2$.

1. Calculer le développement limité d'ordre 2 de $f$ en un point quelconque $(a,b)$.
2. En déduire les points critiques de $f$ et leur nature.

Exercice 17

L'objectif de cet exercice est de déterminer les points d'extremum local de la fonction $f:{ℝ}^2\to ℝ$ définie par

$f(x,y)=y^3+x^2-4xy+3y^2$.

1. Déterminer les points critiques de $f$.
2. Montrer que $\mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^{2}f(x,y)\ge f(2y,y)$.
3. Étudier le sens de variation de la fonction $\phi :ℝ\to ℝ$ définie par $\phi (y)=f(2y,y)$.
4. Montrer que pour tout $y\ge 0$ et tout $x\in ℝ$ on a $f(x,y)\ge f(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$.
5. Montrer que $(0,0)$ est un point selle.

Exercice 18

Soient $p,q\in ℝ$ tels que $q>p>1$, $K$ l'ensemble des $x\in {ℝ}^n$ tels que $\sum _{i=1}^n|x_i{|}^q=1$ et $f:K\to ℝ,x\mapsto \sum _{i=1}^n|x_i{|}^p$.

1. Montrer que $K$ est une sous-variété de de classe CModèle:Exp. (De quelle dimension ?)
2. Pourquoi $f$ admet-elle au moins un maximum et un minimum ?
3. Déterminer les points de $K$ vérifiant la condition nécessaire d'extrémalité de Lagrange.
4. En déduire les valeurs maximale et minimale de $f$.

Mêmes questions pour $K=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2+z^2=1,(x+2z{)}^2+y^2=z^2\}$ et $f:K\to ℝ,(x,y,z)\mapsto z$. Modèle:Solution

Mêmes questions pour $K=\{(x,y,z)\in ({ℝ}_{+}^{*}{)}^3\mid x^2+y^2+z^2=1,x=y+z\}$ et $f:K\to ℝ,(x,y,z)\mapsto \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$, pour le minimum. Modèle:Solution