Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrales généralisées (ou impropres)

Notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle

Rappel : intégrale d'une fonction continue par morceaux sur intervalle fermé (ou “intégrale propre”)

Modèle:AlRevoir le paragraphe « intégrale définie sur un intervalle fermé » du chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie

Modèle:AlUne 1^ère intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux

$f$

est définie sur l'intervalle ouvert

$[a,+\mathrm{\infty }[$

avec

$a\in ℝ$

, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

quand

$b\to +\mathrm{\infty }$

soit
Modèle:AlModèle:Transparent«

$\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{b\to +\mathrm{\infty }}[\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx]$

» si cette dernière existe et est finie ;

Modèle:Alon peut définir une autre intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $f$ sur l'intervalle ouvert $]-\mathrm{\infty },b]$ avec $b\in ℝ$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ quand $a\to -\mathrm{\infty }$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{a\to -\mathrm{\infty }}[\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx]$» si cette dernière existe et est finie ;

Modèle:Alenfin on peut définir l'intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $f$ sur l'intervalle ouvert $]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ quand $a\to -\mathrm{\infty }$ et $b\to +\mathrm{\infty }$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{b\to +\mathrm{\infty }}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{a\to -\mathrm{\infty }}[\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx]\}$» si cette dernière existe et est finie.

Modèle:AlRemarque : Il ne suffit pas que $f(x)\to 0$ quand $x\to -\mathrm{\infty }$ $($ou quand $x\to +\mathrm{\infty })$ pour que $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ $($ou pour que $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx)$ converge,
Modèle:AlModèle:Transparentvoir deux exemples ci-dessous où $f(x)\to 0$ quand $x\to \pm \mathrm{\infty }$ et où la 1^ère intégrale diverge alors que la 2^ème converge :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$1^er exemple : $f(x)=\frac{1}{x}$ qui $\to 0$ quand $x\to \pm \mathrm{\infty }$ mais pour laquelle $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{x}$ avec $(a,b)\in ({ℝ}^{+}{)}^2$diverge quand $b\to +\mathrm{\infty }$ car
Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{x}={[\ln |x|]}_a^b=\ln \left(\frac{b}{a}\right)$ et $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{b\to +\mathrm{\infty }}[\ln \left(\frac{b}{a}\right)]=+\mathrm{\infty }$ ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$2^nd exemple : $f(x)=\frac{1}{x^2}$ qui $\to 0$ quand $x\to \pm \mathrm{\infty }$ et pour laquelle $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{x^2}$ avec $(a,b)\in ({ℝ}^{+}{)}^2$converge quand $b\to +\mathrm{\infty }$ car
Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{x^2}={[-\frac{1}{x}]}_a^b=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ et $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{b\to +\mathrm{\infty }}[\frac{1}{a}-\frac{1}{b}]=\frac{1}{a}$ d'où $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x^2}=\frac{1}{a}$.

Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge

Modèle:AlUne 2^ème intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux $f$ est définie sur l'intervalle fermé $[a,b]$ avec $(a,b)\in {ℝ}^2$ et $f$ non définie en $b$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre $\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}f(x)dx$ définie sur l'intervalle ouvert à droite $[a,\xi [$, limite quand $\xi \to b$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\xi \to b}[\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}f(x)dx]$» si cette dernière existe et est finie ;

Modèle:Alon peut définir une autre intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $f$ sur l'intervalle fermé $[a,b]$ avec $(a,b)\in {ℝ}^2$ et $f$ non définie en $a$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre $\underset{\xi }{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ définie sur l'intervalle ouvert à gauche $]\xi ,b]$, limite quand $\xi \to a$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\xi \to a}[\underset{\xi }{\overset{b}{\int }}f(x)dx]$» si cette dernière existe et est finie ;

Modèle:Alenfin on peut définir l'intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $f$ sur l'intervalle fermé $[a,b]$ avec $(a,b)\in {ℝ}^2$, $f$ non définie en $a$ et en $b$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\underset{\xi }{\overset{\zeta }{\int }}f(x)dx$ quand $\xi \to a$ et $\zeta \to b$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\zeta \to b}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\xi \to a}[\underset{\xi }{\overset{\zeta }{\int }}f(x)dx]\}$» si cette dernière existe et est finie.

Modèle:AlRemarque : Le plus souvent $f(x)\to \pm \mathrm{\infty }$ quand $x\to b$ ou $x\to a$ et $f$ admet une primitive $F$,
Modèle:AlModèle:Transparentdans ces conditions l'intégrale convergera si $F$ admet une limite finie ;
Modèle:AlModèle:Transparentil convient donc d'effectuer le calcul de l'intégrale « propre » pour conclure :
Modèle:AlModèle:Transparentsuivent deux exemples à conclusions différentes :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$1^er exemple : $f(x)=\frac{1}{b-x}$ qui $\to \pm \mathrm{\infty }$ quand $x\to b$ mais pour laquelle $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{b-x}$ avec $(a,b)\in {ℝ}^2$diverge car
Modèle:AlModèle:Transparentl'intégrale propre sur l'intervalle ouvert $[a,\xi [$ avec $\xi <b$ s'évalue selon
Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}\frac{dx}{b-x}={[-\ln |b-x|]}_a^{\xi }=\ln \left(\frac{b-a}{b-\xi }\right)$ et $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\xi \to b}[\ln \left(\frac{b-a}{b-\xi }\right)]=+\mathrm{\infty }$ ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$2^nd exemple : $f(x)=\frac{1}{\sqrt{b-x}}$ qui $\to \mathrm{\infty }$ quand $x\to b^{-}$, pour laquelle $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{b-x}}$ avec $(a,b)\in {ℝ}^2$converge car
Modèle:AlModèle:Transparentl'intégrale propre sur l'intervalle ouvert $[a,\xi [$ avec $\xi <b$ s'évalue selon
Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}\frac{dx}{\sqrt{b-x}}={[-2\sqrt{b-x}]}_a^{\xi }=2(\sqrt{b-\xi }-\sqrt{b-a})$ d'une part et
Modèle:AlModèle:Transparent$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\xi \to b}\left[2(-\sqrt{b-\xi }+\sqrt{b-a})\right]=2\sqrt{b-a}$ d'autre part d'où
Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{b-x}}=2\sqrt{b-a}$.

Intégrales curvilignes généralisées

Modèle:AlUne intégrale curviligne « propre » se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrale « propre » sur un segment, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.

Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension infinie

Modèle:AlL'intégrale curviligne généralisée d'une fonction $f(M)$ continue par morceaux sur une courbe $(\mathrm{\Gamma })$ d'extension infinie $\stackrel{⌢}{A{B}_{\mathrm{\infty }}}$, notée $\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{B}_{\mathrm{\infty }}}{\int }f[M(s)]ds$, converge si l'intégrale curviligne « propre » sur la courbe $(\mathrm{\Gamma })$ dont l'extension $\stackrel{⌢}{AB}$ est finie, «$\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds$» admet une limite finie quand $B\to B_{\mathrm{\infty }}$ en suivant la courbe $(\mathrm{\Gamma })$ et cette limite définit $\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{B}_{\mathrm{\infty }}}{\int }f[M(s)]ds$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{B}_{\mathrm{\infty }}}{\int }f[M(s)]ds=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{B\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{B}_{\mathrm{\infty }}}\left[\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds\right]$» si cette dernière existe et est finie ;

Modèle:Alon peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction $f(M)$ continue par morceaux sur la courbe $(\mathrm{\Gamma })$ d'extension infinie $\stackrel{⌢}{A_{\mathrm{\infty }}B}$, notée $\underset{A_{\mathrm{\infty }}\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds$, comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de «$\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds$» quand $A\to A_{\mathrm{\infty }}$ en suivant la courbe $(\mathrm{\Gamma })$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{A_{\mathrm{\infty }}\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{A}_{\mathrm{\infty }}}\left[\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds\right]$» si cette dernière existe et est finie ;

Modèle:Alenfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction $f(M)$ continue par morceaux sur la courbe $(\mathrm{\Gamma })$ d'extension infinie $\stackrel{⌢}{A_{\mathrm{\infty }}{B}_{\mathrm{\infty }}}$, notée $\underset{A_{\mathrm{\infty }}\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{B}_{\mathrm{\infty }}}{\int }f[M(s)]ds$, comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de «$\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds$» quand $A\to A_{\mathrm{\infty }}$ et $B\to B_{\mathrm{\infty }}$ en suivant la courbe $(\mathrm{\Gamma })$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{A_{\mathrm{\infty }}\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{B}_{\mathrm{\infty }}}{\int }f[M(s)]ds=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{B\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{B}_{\mathrm{\infty }}}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }{A}_{\mathrm{\infty }}}\left[\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds\right]\}$» si cette dernière existe et est finie.

Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension finie d'une fonction divergeant en une de ses extrémités

Modèle:AlL'intégrale curviligne généralisée d'une fonction $f(M)$ continue par morceaux sur une courbe $(\mathrm{\Gamma })$ d'extension finie $\stackrel{⌢}{AB}$ avec $f(M)$ non définie en $B$ extrémité droite de l'arc, intégrale curviligne généralisée notée $\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds$, est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «$\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }P}{\int }f[M(s)]ds$» définie sur l'arc ouvert à droite $\stackrel{⌢}{AP}$, $P$ étant sur $(\mathrm{\Gamma })$ avant $B$, limite quand $P\to B$ en restant sur $(\mathrm{\Gamma })$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{P\to B}\left[\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }P}{\int }f[M(s)]ds\right]$» si cette dernière existe et est finie ;

Modèle:Alon peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction $f(M)$ continue par morceaux sur la courbe $(\mathrm{\Gamma })$ d'extension finie $\stackrel{⌢}{AB}$ avec $f(M)$ non définie en $A$ extrémité gauche de Modèle:Nobr intégrale curviligne généralisée notée $\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds$,
Modèle:AlModèle:Transparentselon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «$\underset{P\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds$» définie sur l'arc ouvert à gauche $\stackrel{⌢}{PB}$, $P$ étant sur $(\mathrm{\Gamma })$ après $A$, limite quand $P\to A$ en restant sur $(\mathrm{\Gamma })$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{P\to A}\left[\underset{P\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds\right]$» si cette dernière existe et est finie ;

Modèle:Alenfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction $f(M)$ continue par morceaux sur la courbe $(\mathrm{\Gamma })$ d'extension finie $\stackrel{⌢}{AB}$ avec $f(M)$ non définie en $A$ et $B$, intégrale curviligne généralisée notée $\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds$,
Modèle:AlModèle:Transparentselon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «$\underset{P\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }Q}{\int }f[M(s)]ds$» définie sur l'arc ouvert aux deux extrémités $\stackrel{⌢}{PQ}$, $P$ étant sur $(\mathrm{\Gamma })$ après $A$ et $Q$ sur $(\mathrm{\Gamma })$ avant $B$, limite quand $P\to A$ et $Q\to B$ en restant sur $(\mathrm{\Gamma })$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{A\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}{\int }f[M(s)]ds=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{Q\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }B}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{P\to A}\left[\underset{P\stackrel{(\mathrm{\Gamma })}{\to }Q}{\int }f[M(s)]ds\right]\}$» si cette dernière existe et est finie.

Intégrales surfaciques généralisées

Modèle:AlUne intégrale surfacique « propre » se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.

Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension infinie

Modèle:AlL'intégrale surfacique généralisée d'une fonction $f(M)$ continue par morceaux sur une surface $({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})$ d'extension infinie $[$c.-à-d. telle que le contour fermé $({\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\infty }})$ limitant $({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})$ soit de longueur infinie$]$, notée $\underset{({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }$ $[$ou $\underset{({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})\text{ limitée par }({\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\infty }})}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }]$, converge si l'intégrale surfacique « propre » sur la surface $(\mathrm{\Sigma })$ dont l'extension est finie $[$car le contour fermé $(\mathrm{\Gamma })$ limitant $(\mathrm{\Sigma })$ est de longueur finie$]$, Modèle:Nobr $[$ou $\underset{(\mathrm{\Sigma })\text{ limitée par }(\mathrm{\Gamma })}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }]$» admet une limite finie quand $(\mathrm{\Gamma })\to ({\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\infty }})$ de façon à ce que $(\mathrm{\Sigma })\to ({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})$ définissant $\underset{({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }$ $[$ou, de façon plus précise, $\underset{({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})\text{ limitée par }({\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\infty }})}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }]$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{(\mathrm{\Sigma })\to ({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})}\left[\underset{(\mathrm{\Sigma })}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }\right]$» si cette dernière existe et est finie s'écrivant encore
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})\text{ limitée par }({\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\infty }})}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{(\mathrm{\Gamma })\to ({\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\infty }})}\left[\underset{(\mathrm{\Sigma })\text{ limitée par }(\mathrm{\Gamma })}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }\right]$».

Modèle:AlExemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction à symétrie centrale sur le plan $xOy$ auquel on a retiré un petit disque de centre $O$, la 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$1^er exemple : $f(M)=\frac{1}{O{M}^2}=\frac{1}{{\rho }^2}$ $($à symétrie centrale$)$ avec intégration sur $({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})$ $[$plan $xOy$ auquel on a retiré le disque de centre $O$ et de rayon $a]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenton réalise l'intégration surfacique propre sur $(\mathrm{\Sigma })$ $[$disque de centre $O$ de rayon $R$ auquel on a retiré le disque de centre $O$ et de rayon $a]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{(\mathrm{\Sigma })}{\iint }f(M)d\mathrm{\Sigma }$» qui s'évalue selon $\underset{a}{\overset{R}{\int }}\frac{1}{{\rho }^2}2\pi \rho d\rho$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=\underset{a}{\overset{R}{\int }}2\pi \frac{d\rho }{\rho }=2\pi \ln \left[\frac{R}{a}\right]\to \mathrm{\infty }$ quand $R\to \mathrm{\infty }$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion $\underset{({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})}{\iint }\frac{1}{O{M}^2}d\mathrm{\Sigma }$ diverge ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$2^nd exemple : $f(M)=\frac{1}{O{M}^3}=\frac{1}{{\rho }^3}$ $($à symétrie centrale$)$ avec intégration sur $({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})$ $[$plan $xOy$ auquel on a retiré le disque de centre $O$ et de rayon $a]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenton réalise l'intégration surfacique propre sur $(\mathrm{\Sigma })$ $[$disque de centre $O$ de rayon $R$ auquel on a retiré le disque de centre $O$ et de rayon $a]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{(\mathrm{\Sigma })}{\iint }f(M)d\mathrm{\Sigma }$» qui s'évalue selon $\underset{a}{\overset{R}{\int }}\frac{1}{{\rho }^3}2\pi \rho d\rho$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=\underset{a}{\overset{R}{\int }}2\pi \frac{d\rho }{{\rho }^2}=2\pi [-\frac{1}{R}+\frac{1}{a}]\to \frac{2\pi }{a}$ quand $R\to \mathrm{\infty }$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion $\underset{({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})}{\iint }\frac{1}{O{M}^3}d\mathrm{\Sigma }$ converge.

Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension finie d'une fonction divergeant sur le contour limitant la surface ou en un point de celle-ci

Modèle:AlL'intégrale surfacique généralisée d'une fonction $f(M)$ continue par morceaux sur une surface $(\mathrm{\Sigma })$ d'extension finie avec $f(M)$ non définie en tout point du contour fermé $(\mathrm{\Gamma })$ limitant $(\mathrm{\Sigma })$, intégrale surfacique généralisée notée $\underset{(\mathrm{\Sigma })}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }$ $[$ou $\underset{(\mathrm{\Sigma })\text{ limitée par }(\mathrm{\Gamma })}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }]$,
Modèle:AlModèle:Transparentest définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique propre «$\underset{({\mathrm{\Sigma }}^{*})}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }$» calculée sur la surface $({\mathrm{\Sigma }}^{*})$ définie comme la surface $(\mathrm{\Sigma })$ à laquelle on a retiré un voisinage du contour fermé $(\mathrm{\Gamma })$, limite quand $({\mathrm{\Sigma }}^{*})\to (\mathrm{\Sigma })$ $[$ou quand le voisinage du contour fermé $(\mathrm{\Gamma })$ tend vers $\mathrm{\varnothing }]$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{(\mathrm{\Sigma })}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{({\mathrm{\Sigma }}^{*})\to (\mathrm{\Sigma })}\left[\underset{({\mathrm{\Sigma }}^{*})}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }\right]$» si cette dernière existe et est finie.

Modèle:AlModèle:TransparentExemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction à symétrie centrale sur
Modèle:AlModèle:Transparentle disque du plan $xOy$, de centre $O$, de rayon $R$,
Modèle:AlModèle:Transparentla 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$1^er exemple : $f(M)=\frac{1}{M{M^{\prime }}^2}=\frac{1}{{(R-\rho )}^2}$ où $M^{\prime }\in (\mathrm{\Gamma })$ en position la plus proche de $M$ $($à symétrie centrale$)$
Modèle:AlModèle:Transparentavec intégration sur $(\mathrm{\Sigma })$ $[$disque du plan $xOy$, de centre $O$ et de rayon $R]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenton réalise l'intégration surfacique propre sur $({\mathrm{\Sigma }}^{*})$ $[$disque de centre $O$ de rayon $R$ auquel a été
Modèle:AlModèle:Transparentretiré un voisinage du contour fermé $(\mathrm{\Gamma })$$]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{({\mathrm{\Sigma }}^{*})}{\iint }f(M)d\mathrm{\Sigma }$» qui s'évalue selon $\underset{0}{\overset{(R-\mu )}{\int }}\frac{1}{{(R-\rho )}^2}2\pi \rho d\rho$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=\left\{\underset{\rho =0}{\overset{\rho =R-\mu }{\int }}\frac{1}{{(R-\rho )}^2}2\pi (R-\rho )d(R-\rho )\right\}-2\pi R\underset{\rho =0}{\overset{\rho =R-\mu }{\int }}\frac{d(R-\rho )}{{(R-\rho )}^2}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=2\pi \underset{\rho =0}{\overset{\rho =R-\mu }{\int }}\frac{d(R-\rho )}{R-\rho }-2\pi R\underset{\rho =0}{\overset{\rho =R-\mu }{\int }}\frac{d(R-\rho )}{{(R-\rho )}^2}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=2\pi {[\ln (R-\rho )]}_0^{R-\mu }-2\pi R{[-\frac{1}{R-\rho }]}_0^{R-\mu }$
Modèle:AlModèle:Transparent$=2\pi \{\ln \left(\frac{\mu }{R}\right)+R(\frac{1}{\mu }-\frac{1}{R})\}=2\pi \{\ln \left(\frac{\mu }{R}\right)+\frac{R-\mu }{\mu }\}$ forme
Modèle:AlModèle:Transparentindéterminée quand $\mu \to 0$ dont le 2^ème terme entre accolades $\nearrow$ plus vite
Modèle:AlModèle:Transparentque le 1^er ne $\searrow$ quand $\mu \searrow$ d'où $\underset{({\mathrm{\Sigma }}^{*})}{\iint }f(M)d\mathrm{\Sigma }\to +\mathrm{\infty }$ quand $\mu \to 0$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion $\underset{(\mathrm{\Sigma })}{\iint }\frac{1}{M{M^{\prime }}^2}d\mathrm{\Sigma }$ diverge $[M^{\prime }\in (\mathrm{\Gamma })$ en position la plus proche de $M]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$2^nd exemple : $f(M)=\frac{1}{\sqrt{M{M}^{\prime }}}=\frac{1}{\sqrt{R-\rho }}$ où $M^{\prime }\in (\mathrm{\Gamma })$ en position la plus proche de $M$ $($à symétrie centrale$)$
Modèle:AlModèle:Transparentavec intégration sur $(\mathrm{\Sigma })$ $[$disque du plan $xOy$, de centre $O$ et de rayon $R]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenton réalise l'intégration surfacique propre sur $({\mathrm{\Sigma }}^{*})$ $[$disque de centre $O$ de rayon $R$ auquel a été
Modèle:AlModèle:Transparentretiré un voisinage du contour fermé $(\mathrm{\Gamma })$$]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{({\mathrm{\Sigma }}^{*})}{\iint }f(M)d\mathrm{\Sigma }$» qui s'évalue selon $\underset{0}{\overset{(R-\mu )}{\int }}\frac{1}{\sqrt{R-\rho }}2\pi \rho d\rho$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=\left\{\underset{\rho =0}{\overset{\rho =R-\mu }{\int }}\frac{1}{\sqrt{R-\rho }}2\pi (R-\rho )d(R-\rho )\right\}-2\pi R\underset{\rho =0}{\overset{\rho =R-\mu }{\int }}\frac{d(R-\rho )}{\sqrt{R-\rho }}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=2\pi \underset{\rho =0}{\overset{\rho =R-\mu }{\int }}{(R-\rho )}^{\frac{1}{2}}d(R-\rho )-2\pi R\underset{\rho =0}{\overset{\rho =R-\mu }{\int }}{(R-\rho )}^{-\frac{1}{2}}d(R-\rho )$
Modèle:AlModèle:Transparent$=2\pi \{{\left[\frac{2}{3}{(R-\rho )}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^{R-\mu }-R{\left[2{(R-\rho )}^{\frac{1}{2}}\right]}_0^{R-\mu }\}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=2\pi \{\frac{2}{3}({\mu }^{\frac{3}{2}}-R^{\frac{3}{2}})-2R(\sqrt{\mu }-\sqrt{R})\}\to \frac{8\pi }{3}{R}^{\frac{3}{2}}$ quand $\mu \to 0$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion $\underset{(\mathrm{\Sigma })}{\iint }\frac{1}{\sqrt{M{M}^{\prime }}}d\mathrm{\Sigma }=\frac{8\pi }{3}{R}^{\frac{3}{2}}$ $[M^{\prime }\in (\mathrm{\Gamma })$ en position la plus proche de $M]$.

Modèle:AlOn peut définir une autre intégrale surfacique généralisée de la fonction $f(M)$ continue par morceaux sur une surface $(\mathrm{\Sigma })$ d'extension finie avec $f(M)$ non définie en un point $B$, intégrale surfacique généralisée notée $\underset{(\mathrm{\Sigma })}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }$ $[$ou $\underset{(\mathrm{\Sigma })\text{ limitée par }(\mathrm{\Gamma })}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }]$,
Modèle:AlModèle:Transparentselon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique propre «$\underset{({\mathrm{\Sigma }}^{*})}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }$» calculée sur la surface $({\mathrm{\Sigma }}^{*})$ s'identifiant à $(\mathrm{\Sigma })$ à laquelle on a retiré un voisinage du point $B$, limite quand $({\mathrm{\Sigma }}^{*})\to (\mathrm{\Sigma })$ $[$ou quand le voisinage du point $B$ tend vers $\mathrm{\varnothing }]$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{(\mathrm{\Sigma })}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{({\mathrm{\Sigma }}^{*})\to (\mathrm{\Sigma })}\left[\underset{({\mathrm{\Sigma }}^{*})}{\iint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }\right]$» si cette dernière existe et est finie.

Modèle:AlModèle:TransparentExemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction
Modèle:AlModèle:Transparentà symétrie centrale sur le disque du plan $xOy$, de centre $O$ et de rayon $R$,
Modèle:AlModèle:Transparentla 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$1^er exemple : $f(M)=\frac{1}{O{M}^2}=\frac{1}{{\rho }^2}$ $($à symétrie centrale$)$ avec intégration sur $(\mathrm{\Sigma })$ $[$disque du plan $xOy$,
Modèle:AlModèle:Transparentde centre $O$ et de rayon $R]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenton réalise l'intégration surfacique propre sur $({\mathrm{\Sigma }}^{*})$ $[$disque de centre $O$ de rayon $R$
Modèle:AlModèle:Transparentsans le disque de centre $O$ de rayon $\mu ]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{({\mathrm{\Sigma }}^{*})}{\iint }f(M)d\mathrm{\Sigma }$» qui s'évalue selon $\underset{\mu }{\overset{R}{\int }}\frac{1}{{\rho }^2}2\pi \rho d\rho$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=\underset{\mu }{\overset{R}{\int }}2\pi \frac{d\rho }{\rho }=$ $2\pi \ln \left[\frac{R}{\mu }\right]\to \mathrm{\infty }$ quand $\mu \to 0$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion $\underset{(\mathrm{\Sigma })}{\iint }\frac{1}{O{M}^2}d\mathrm{\Sigma }$ diverge ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$2^nd exemple : $f(M)=\frac{1}{OM}=\frac{1}{\rho }$ $($à symétrie centrale$)$ avec intégration sur $(\mathrm{\Sigma })$ $[$disque du plan $xOy$,
Modèle:AlModèle:Transparentde centre $O$ et de rayon $R]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenton réalise l'intégration surfacique propre sur $({\mathrm{\Sigma }}^{*})$ $[$disque de centre $O$ de rayon $R$
Modèle:AlModèle:Transparentsans le disque de centre $O$ de rayon $\mu ]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{({\mathrm{\Sigma }}^{*})}{\iint }f(M)d\mathrm{\Sigma }$» qui s'évalue selon $\underset{\mu }{\overset{R}{\int }}\frac{1}{\rho }2\pi \rho d\rho$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=\underset{\mu }{\overset{R}{\int }}2\pi d\rho =2\pi [R-\mu ]\to 2\pi R$ quand $\mu \to 0$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion $\underset{(\mathrm{\Sigma })}{\iint }\frac{1}{OM}d\mathrm{\Sigma }=2\pi R$ donc effectivement convergente.

Intégrales volumiques généralisées

Modèle:AlUne intégrale volumique « propre » se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.

Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie

Modèle:AlL'intégrale volumique généralisée d'une fonction $f(M)$ continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle $({𝒱}_{\mathrm{\infty }})$ d'extension infinie $[$c.-à-d. telle que la surface $({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})$ limitant $({𝒱}_{\mathrm{\infty }})$ soit d'aire infinie$]$, notée $\underset{({𝒱}_{\mathrm{\infty }})}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱$ $[$ou encore $\underset{({𝒱}_{\mathrm{\infty }})\text{ limitée par }({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱]$, converge si l'intégrale volumique « propre » sur l'expansion tridimensionnelle $(𝒱)$ dont l'extension est finie $[$car la surface $(\mathrm{\Sigma })$ limitant $(𝒱)$ est d'aire finie$]$, «$\underset{(𝒱)}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱$ $[$ou encore $\underset{(𝒱)\text{ limitée par }(\mathrm{\Sigma })}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱]$» admet une limite finie quand $(\mathrm{\Sigma })\to ({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})$ de façon à ce que $(𝒱)\to ({𝒱}_{\mathrm{\infty }})$ et cette limite définit $\underset{({𝒱}_{\mathrm{\infty }})}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱$ $[$ou encore $\underset{({𝒱}_{\mathrm{\infty }})\text{ limitée par }({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})}{\iiint }f\left[M\right]d\mathrm{\Sigma }]$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{({𝒱}_{\mathrm{\infty }})}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{(𝒱)\to ({𝒱}_{\mathrm{\infty }})}\left[\underset{(𝒱)}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱\right]$» si cette dernière existe et est finie s'écrivant encore
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{({𝒱}_{\mathrm{\infty }})\text{ limitée par }({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{(\mathrm{\Sigma })\to ({\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }})}\left[\underset{(𝒱)\text{ limitée par }(\mathrm{\Sigma })}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱\right]$».

Modèle:AlExemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique sur l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre $O$, la 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$1^er exemple : $f(M)=\frac{1}{O{M}^3}=\frac{1}{r^3}$ $($à symétrie sphérique$)$ avec intégration sur $({𝒱}_{\mathrm{\infty }})$ $[$espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre $O$ et de rayon $a]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenton réalise l'intégration volumique propre sur $(𝒱)$ $[$boule de centre $O$ de rayon $R$ auquel on a retiré la petite boule de centre $O$ et de rayon $a]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{(𝒱)}{\iiint }f(M)d𝒱$» qui s'évalue selon $\underset{a}{\overset{R}{\int }}\frac{1}{r^3}4\pi r^{2}dr$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=\underset{a}{\overset{R}{\int }}4\pi \frac{dr}{r}=4\pi \ln \left[\frac{R}{a}\right]\to \mathrm{\infty }$ quand $R\to \mathrm{\infty }$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion $\underset{({𝒱}_{\mathrm{\infty }})}{\iiint }\frac{1}{O{M}^3}d𝒱$ diverge ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$2^nd exemple : $f(M)=\frac{1}{O{M}^4}=\frac{1}{r^4}$ $($à symétrie sphérique$)$ avec intégration sur $({𝒱}_{\mathrm{\infty }})$ $[$espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre $O$ et de rayon $a]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenton réalise l'intégration volumique propre sur $(𝒱)$ $[$boule de centre $O$ de rayon $R$ auquel on a retiré la petite boule de centre $O$ et de rayon $a]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{(𝒱)}{\iiint }f(M)d𝒱$» qui s'évalue selon $\underset{a}{\overset{R}{\int }}\frac{1}{r^4}4\pi r^{2}dr$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=\underset{a}{\overset{R}{\int }}4\pi \frac{dr}{r^2}=4\pi [-\frac{1}{R}+\frac{1}{a}]\to \frac{4\pi }{a}$ quand $R\to \mathrm{\infty }$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion $\underset{({𝒱}_{\mathrm{\infty }})}{\iiint }\frac{1}{O{M}^4}d𝒱=\frac{4\pi }{a}$ donc effectivement convergente.

Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie d'une fonction divergeant sur la surface limitant l'expansion tridimensionnelle ou en un point de cette dernière

Modèle:AlL'intégrale volumique généralisée d'une fonction $f(M)$ continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle $(𝒱)$ dont l'extension est finie avec $f(M)$ non définie en tout point de la surface fermée $(\mathrm{\Sigma })$ limitant $(𝒱)$, intégrale volumique généralisée notée $\underset{(𝒱)}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱$ $[$ou $\underset{(𝒱)\text{ limitée par }(\mathrm{\Sigma })}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱]$,
Modèle:AlModèle:Transparentest définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre Modèle:Nobr calculée sur l'expansion tridimensionnelle $({𝒱}^{*})$ définie comme l'expansion tridimensionnelle $(𝒱)$ à laquelle on a retiré un voisinage de la surface fermée $(\mathrm{\Sigma })$, limite quand $({𝒱}^{*})\to (𝒱)$ $[$ou quand le voisinage de la surface fermée $(\mathrm{\Sigma })$ limitant $𝒱$ tend vers $\mathrm{\varnothing }]$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{(𝒱)}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{({𝒱}^{*})\to (𝒱)}\left[\underset{({𝒱}^{*})}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱\right]$» si cette dernière existe et est finie.

Modèle:AlModèle:TransparentExemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique sur
Modèle:AlModèle:Transparentla sphère de centre $O$, de rayon $R$,
Modèle:AlModèle:Transparentla 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$1^er exemple : $f(M)=\frac{1}{M{M^{\prime }}^3}=\frac{1}{{(R-r)}^3}$ où $M^{\prime }\in (\mathrm{\Sigma })$ en position la plus proche de $M$ $($à symétrie sphérique$)$
Modèle:AlModèle:Transparentavec intégration sur $(𝒱)$ $[$boule, de centre $O$ et de rayon $R]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenton réalise l'intégration volumique propre sur $({𝒱}^{*})$ $[$boule de centre $O$ de rayon $R$ auquel a été
Modèle:AlModèle:Transparentretiré un voisinage de la surface fermée $(\mathrm{\Sigma })$$]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{({𝒱}^{*})}{\iiint }f(M)d𝒱$» qui s'évalue selon $\underset{0}{\overset{(R-\mu )}{\int }}\frac{1}{{(R-r)}^3}4\pi r^{2}dr$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=4\pi \{-\underset{r=0}{\overset{r=R-\mu }{\int }}\frac{1}{{(R-r)}^3}{(R-r)}^{2}d(R-r)\cdots$
Modèle:AlModèle:Transparent$+2R\underset{r=0}{\overset{r=R-\mu }{\int }}\frac{1}{{(R-r)}^3}(R-r)d(R-r)\cdots$
Modèle:AlModèle:Transparent$-R^2\underset{r=0}{\overset{r=R-\mu }{\int }}\frac{1}{{(R-r)}^3}d(R-r)\}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=4\pi \{-\underset{r=0}{\overset{r=R-\mu }{\int }}\frac{d(R-r)}{(R-r)}+2R\underset{r=0}{\overset{r=R-\mu }{\int }}\frac{d(R-r)}{{(R-r)}^2}$
Modèle:AlModèle:Transparent$-R^2\underset{r=0}{\overset{r=R-\mu }{\int }}\frac{d(R-r)}{{(R-r)}^3}\}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=4\pi \{-{[\ln (R-r)]}_0^{R-\mu }+2R{\left[\frac{-1}{R-r}\right]}_0^{R-\mu }-R^2{\left[\frac{-1}{2(R-r{)}^2}\right]}_0^{R-\mu }\}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=4\pi \{\ln \left(\frac{R}{\mu }\right)+2R(\frac{1}{R}-\frac{1}{\mu })-\frac{R^2}{2}(\frac{1}{R^2}-\frac{1}{{\mu }^2})\}$ forme indéterminée
Modèle:AlModèle:Transparentquand $\mu \to 0$ dont le 3^ème terme entre accolades $\nearrow$ plus vite que le 2^ème ne $\searrow$
Modèle:AlModèle:Transparentet que le 1^er ne $\nearrow$
Modèle:AlModèle:Transparentquand $\mu \searrow$ vers $0$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{({𝒱}^{*})}{\iiint }f(M)d𝒱\to +\mathrm{\infty }$ quand $\mu \to 0$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion $\underset{(𝒱)}{\iiint }\frac{1}{M{M^{\prime }}^3}d𝒱$ diverge $[M^{\prime }\in (\mathrm{\Sigma })$ en position la plus proche de $M]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$2^nd exemple : $f(M)=\frac{1}{\sqrt{M{M}^{\prime }}}=\frac{1}{\sqrt{R-r}}$ où $M^{\prime }\in (\mathrm{\Sigma })$ en position la plus proche de $M$ $($à symétrie sphérique$)$
Modèle:AlModèle:Transparentavec intégration sur $(𝒱)$ $[$boule, de centre $O$ et de rayon $R]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenton réalise l'intégration volumique propre sur $({𝒱}^{*})$ $[$boule de centre $O$ de rayon $R$ auquel a été
Modèle:AlModèle:Transparentretiré un voisinage de la surface fermée $(\mathrm{\Sigma })$$]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{({𝒱}^{*})}{\iiint }f(M)d𝒱$» qui s'évalue selon $\underset{0}{\overset{(R-\mu )}{\int }}\frac{1}{\sqrt{R-r}}4\pi r^{2}dr$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=4\pi \{-\underset{r=0}{\overset{r=R-\mu }{\int }}\frac{1}{\sqrt{R-r}}{(R-r)}^{2}d(R-r)\cdots$
Modèle:AlModèle:Transparent$+2R\underset{r=0}{\overset{r=R-\mu }{\int }}\frac{1}{\sqrt{R-r}}(R-r)d(R-r)\cdots$
Modèle:AlModèle:Transparent$-R^2\underset{r=0}{\overset{r=R-\mu }{\int }}\frac{1}{\sqrt{R-r}}d(R-r)\}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=4\pi \{-\underset{r=0}{\overset{r=R-\mu }{\int }}{(R-r)}^{\frac{3}{2}}d(R-r)+2R\underset{r=0}{\overset{r=R-\mu }{\int }}{(R-r)}^{\frac{1}{2}}d(R-r)$
Modèle:AlModèle:Transparent$-R^2\underset{r=0}{\overset{r=R-\mu }{\int }}\frac{d(R-r)}{\sqrt{R-r}}\}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=4\pi \{-{\left[\frac{2}{5}{(R-r)}^{\frac{5}{2}}\right]}_0^{R-\mu }+2R{\left[\frac{2}{3}{(R-r)}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^{R-\mu }$
Modèle:AlModèle:Transparent$-R^2{\left[2{(R-r)}^{\frac{1}{2}}\right]}_0^{R-\mu }\}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=4\pi \{\frac{2}{5}(R^{\frac{5}{2}}-{\mu }^{\frac{5}{2}})-\frac{4}{3}R(R^{\frac{3}{2}}-{\mu }^{\frac{3}{2}})+2R^2(R^{\frac{1}{2}}-{\mu }^{\frac{1}{2}})\}$ de limite
Modèle:AlModèle:Transparentfinie quand $\mu \to 0$ égale à «$(\frac{8\pi }{5}-\frac{16\pi }{3}+8\pi )R^{\frac{5}{2}}=\frac{64}{15}{R}^{\frac{5}{2}}$» d'où
Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{({𝒱}^{*})}{\iiint }f(M)d𝒱\to \frac{64}{15}{R}^{\frac{5}{2}}$ quand $\mu \to 0$ $\Rightarrow$ $\underset{(𝒱)}{\iiint }\frac{1}{\sqrt{M{M}^{\prime }}}d𝒱$ effectivement convergente ;
Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion $\underset{(𝒱)}{\iiint }\frac{1}{\sqrt{M{M}^{\prime }}}d𝒱=\frac{64}{15}{R}^{\frac{5}{2}}$ $[M^{\prime }\in (\mathrm{\Sigma })$ en position la plus proche de $M]$.

Modèle:AlOn peut définir une autre intégrale volumique généralisée de la fonction $f(M)$ continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle $(𝒱)$ d'extension finie avec $f(M)$ non définie en un point Modèle:Nobr intégrale volumique généralisée notée $\underset{(𝒱)}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱$ $[$ou $\underset{(𝒱)\text{ limitée par }(\mathrm{\Sigma })}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱]$
Modèle:AlModèle:Transparentselon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre «$\underset{({𝒱}^{*})}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱$» calculée sur l'expansion tridimensionnelle $({𝒱}^{*})$ s'identifiant à $(𝒱)$ à laquelle a été retiré un voisinage du point $B$, limite quand $({𝒱}^{*})\to (𝒱)$ $[$ou quand le voisinage du point $B$ tend vers $\mathrm{\varnothing }]$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{(𝒱)}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{({𝒱}^{*})\to (𝒱)}\left[\underset{({𝒱}^{*})}{\iiint }f\left[M\right]d𝒱\right]$» si cette dernière existe et est finie.

Modèle:AlModèle:TransparentExemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction
Modèle:AlModèle:Transparentà symétrie sphérique sur la boule de centre $O$ et de rayon $R$,
Modèle:AlModèle:Transparentla 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$1^er exemple : $f(M)=\frac{1}{O{M}^3}=\frac{1}{r^3}$ $($à symétrie sphérique$)$ avec intégration sur $(𝒱)$ $[$boule de centre $O$, de rayon $R]$,
Modèle:AlModèle:Transparenton réalise l'intégration volumique propre sur $({𝒱}^{*})$ $[$boule de centre $O$, de rayon $R$ sans
Modèle:AlModèle:Transparentla boule de centre $O$, de rayon $\mu ]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{({𝒱}^{*})}{\iiint }f(M)d𝒱$» qui s'évalue selon $\underset{\mu }{\overset{R}{\int }}\frac{1}{r^3}4\pi r^{2}dr$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=\underset{\mu }{\overset{R}{\int }}4\pi \frac{dr}{r}=4\pi \ln \left[\frac{R}{\mu }\right]\to \mathrm{\infty }$ quand $\mu \to 0$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion $\underset{(𝒱)}{\iiint }\frac{1}{O{M}^3}d𝒱$ diverge ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$2^nd exemple : $f(M)=\frac{1}{O{M}^2}=\frac{1}{r^2}$ $($à symétrie sphérique$)$ avec intégration sur $(𝒱)$ $[$boule de centre $O$, de rayon $R]$,
Modèle:AlModèle:Transparenton réalise l'intégration volumique propre sur $({𝒱}^{*})$ $[$boule de centre $O$, de rayon $R$ sans
Modèle:AlModèle:Transparentla boule de centre $O$, de rayon $\mu ]$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\underset{({𝒱}^{*})}{\iiint }f(M)d𝒱$» qui s'évalue selon $\underset{\mu }{\overset{R}{\int }}\frac{1}{r^2}4\pi r^{2}dr$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=\underset{\mu }{\overset{R}{\int }}4\pi dr=4\pi [R-\mu ]\to 4\pi R$ quand $\mu \to 0$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion $\underset{(𝒱)}{\iiint }\frac{1}{O{M}^2}d𝒱=4\pi R$ donc effectivement convergente.