Série entière/Exercices/Produit de Cauchy

Montrer directement, à l'aide de la définition du produit de Cauchy que :

Exercice 7-1

Pour tout $z\in ℂ$ de module strictement inférieur à 1, $(1-z)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^k=1$. Modèle:Solution

Exercice 7-2

Pour tout $z\in ℂ$ de module strictement inférieur à 1, $(1-z{)}^2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+1)z^k=1$. Modèle:Solution

Exercice 7-3

Pour tout $z\in ℂ$ et tout $m\in {\mathbb{N}}^{*}$, ${\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{z}^n\right)}^m=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{m^n}{n!}{z}^n$. Modèle:Solution